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(et fondements mathématiques)

Les intervalles associés à N(0;1)

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Intervalles associés à une probabilité de loi N(0;1)

La page que vous venez d’ouvrir traite d’une propriété de la loi normale centrée réduite. Une propriété bien pratique et, reconnaissons-le, assez évidente. Sans elle, impossible de déterminer des intervalles de fluctuation et des intervalles de confiance (ce qui nous plongerait dans un profond désarroi).

Niveau d’étude : classes de terminale S / terminale ES.

Propriété

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et α un réel appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[.

Il existe un unique réel positif u tel que la probabilité que Z se situe entre -u et u soit égale à 1 – α.

probabilité

Deux célébrités

En pratique, on cherche presque toujours les valeurs de u pour lesquelles α = 0,05 ou α = 0,01. Alors autant connaître par cœur les intervalles qui leur sont associés !

Ainsi, si α = 0,05, nous avons P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) ≈ 0,95.

1,96 est une valeur approchée. D'ailleurs, en pratique, deux décimales sont bien suffisantes.

Ci-dessous, la courbe de densité a été réalisée avec Geogebra. Pour faire apparaître l’aire qui représente P(-u ≤ Z ≤ u), la formule à entrer dans le logiciel est :

Intégrale[2.71828^(-x² / 2) / sqrt(2 π), -1.96, 1.96]

alpha = 0,95

Par définition, l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses vaut 1. Ici, on ne s’intéresse qu’à 95 % des probabilités situées symétriquement autour de l’espérance.

On écrit donc :

intégrale

Mentionnons un autre intervalle :

Si α = 0,01, nous avons P(-2,58 ≤ Z ≤ 2,58) ≈ 0,99.

alpha = 0,99

L’intégrale :

intégrale

Ces intervalles et tous les autres associés à une probabilité donnée peuvent être recherchés dans des tables mais aussi à l’aide de tableurs (voir loi normale sur tableurs), de progiciels de statistiques ou de calculatrices.

Démonstration de la propriété

Posons G(u) = P(-u ≤ Z ≤ u)

Soit f la fonction de densité de la loi normale centrée réduite et F une primitive de f.

intégration de la fonction de densité

Dérivons G pour connaître son sens de variation. Soit G’ cette dérivée.

La dérivée de -F(-u) est -(-f(-u)).

Donc G’(u)f(u) + f(-u).

Or, nous savons qu’une fonction de densité est toujours positive. Par conséquent, G’ est strictement positive puisque c’est la somme de deux fonctions strictement positives.

Il s’ensuit que G est une fonction strictement croissante sur R+.

Étudions ses valeurs aux bornes de son ensemble de définition.

Il est évident que G(0) = 0 :

intégrale nulle

À l’infini, G(u) = 1 puisque f est une densité de probabilité.

Et le tableau de variation apparaît dans toute sa majesté…

tableau de variation

Poursuivons. Nous savons que 1 – α appartient à ]0 ; 1[. Or, la fonction G est continue et strictement monotone sur son ensemble de définition. Ses valeurs sont comprises entre 0 et 1. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel u tel que G(u) = 1 – α.

La propriété est démontrée.

 

propriété de la loi normale

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés