Des exercices d'analyse combinatoire

Exercices de combinatoire (terminale)

Quelques exercices de combinatoire de niveau terminale générale

 

Rappels

Soit \(n\) et \(k\) deux entiers naturels. \(n\) est le nombre d’éléments de l’ensemble considéré.

k-liste : liste ordonné de \(k\) éléments pris parmi \(n\), éventuellement répétés. Le cardinal de cet ensemble est \(n^k.\)

Permutation : liste ordonnée de tous les éléments de l’ensemble sans répétition. Soit \(n !\) possibilités.

Combinaison : liste non ordonnée de \(k\) éléments pris parmi \(n\) sans répétition. Soit un cardinal égal à \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\
k
\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\)

 

Exercice 1

1- Combien de mains de cinq cartes comportant deux as sont-elles possibles sur un jeu de 52 ?

2- Combien y a-t-il de possibilités de mains contenant un carré ? (c’est-à-dire quatre cartes de même valeur).

Corrigé

1- Ici l'ordre n'a pas d'importance : on se fiche de la place de telle ou telle carte dans votre main. Pour les as, il s’agit d’une combinaison de deux cartes parmi quatre. Pour les autres, il s’agit d’une combinaison de trois cartes parmi 48. Le nombre de possibilités de mains est le produit cartésien de ces deux combinaisons.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
2
\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{48}\\
3
\end{array}} \right) = 6 \times 17\,296 = 103\,776\)

2- Le jeu est de 52 cartes et il y a 4 couleurs. Donc \(\frac{52}{4} = 13\) valeurs et donc 13 carrés possibles. Pour chaque carré, il existe 48 possibilités pour la cinquième carte. Donc \(13 × 48 = 624\) possibilités d’avoir une main avec un carré. Vous remarquerez qu’il n’était pas indispensable d’avoir des notions de combinatoire pour répondre à cette question.

 

Exercice 2

1- Un code est composé de quatre chiffres, éventuellement répétés, suivis d’une lettre (alphabet de 26 lettres). Combien y a-t-il de possibilités de combinaisons ?

2- Même question mais la lettre peut se situer à n’importe quelle place du code.

Corrigé

1- La partie numérique du code est une 4-liste d’un ensemble de dix éléments. Donc \(10^4 = 10\,000.\)

En outre il y a 26 possibilités de lettre.

Le résultat cherché est donc \(10\,000 × 26 = 260\,000.\)

2- Le code est composé de cinq caractères. La lettre peut se trouver à la place 1, 2, 3, 4 ou 5. Il suffit donc de multiplier le résultat précédent par 5.

\(260\,000 × 5= 1\,300\,000\) possibilités.

 

Exercice 3

1 - Écrire un programme en Python pour déterminer une combinaison de \(k\) parmi \(n\). Précisons que la factorielle de \(n\) s’obtient par factorial(n), dans la librairie math. Si pour une raison ou une autre vous n’avez pas accès librairie vous devez créer une fonction factorielle vous-même (voir la page sur les permutations).

2- Modifier l’algorithme de façon à obtenir toutes les valeurs de \(k\) pour une valeur de \(n\) saisie par l’utilisateur.

Propositions de programmes

1- Combinaison

from math import *

n= int(input('valeur de n : ' ))
k= int(input('valeur de k : ' ))

def combinaison(n,k):
    if n < k:
        print('n doit être supérieur à k')
    else:
        return int(factorial(n)/(factorial(k)*factorial(n-k)))

print (combinaison(n,k))

2- Pour avoir toutes les valeurs de \(k\) avec \(n\) donné :

from math import *

n= int(input('valeur de n : ' ))

def combinaison(n,k):
    return int(factorial(n)/(factorial(k)*factorial(n-k)))

for k in range (n + 1):
    print (combinaison(n,k))

 

Exercice 4

Vous devez calculer \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
8
\end{array}} \right)\) avec Excel. À faire de plusieurs façons.

Quelques idées

1- Le plus simple : écrire dans une cellule =COMBIN(10;8). On obtient 45.

2- Avec la définition : =FACT(10)/(FACT(8)*FACT(10-8))

3- Construire le triangle de Pascal.

triangle de Pascal