Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le nombre d'or

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Nombre d'or : exercice et propriétés mathématiques

Le nombre d’or : un nom bien mystérieux pour désigner un réel un peu particulier qui permet de modéliser aussi bien une spirale d’escargot que l’agencement des graines de tournesol. Il a aussi été utilisé en architecture, en particulier au cours de l’ancien Empire égyptien, à l’époque grecque classique et au vingtième siècle. Mais on l’assaisonne aussi de sauces bizarres pour lui faire dire un peu n’importe quoi, générant quelques théories fumeuses.  Ce qui est certain, c’est qu’il est le résultat d’une équation de laquelle découle un ensemble de propriétés mathématiques.

Présentons sans plus attendre ce nombre irrationnel. On l’écrit habituellement avec la lettre grecque phi (φ).

nombre d'or

Problème (niveau première S)

Un moyen de découvrir ce nombre est de travailler sur le rectangle d’or dont les proportions sont fondées dessus. Pour qu’il soit labellisé « d’or », le rectangle doit vérifier la propriété suivante visible sur la figure ci-dessous :

rectangle d'or

Le grand rectangle (bleu et rouge) est composé d’un carré bleu et d’un petit rectangle rouge qui possède exactement les mêmes proportions que lui (rectangles semblables).

Si L est la longueur du grand rectangle et l sa largeur, on a donc la proportion (l / L) qui est égale à la proportion du rectangle rouge [(L – l/ l]. Il faut trouver le nombre d’or φ, égal à L / l.

Voyons cela...

égalité

étape de calcul

Multiplions tout par L / l

étape de calcul

Par conséquent, ceci revient à chercher les racines du trinôme

trinôme

Le discriminant est égal à 1 – (-4) = 5. Comme il est positif, il existe deux solutions à l’équation :

racines

Comme φ1 < 0, il ne peut être solution du problème. Donc le nombre cherché est bien le nombre d’or.

Curiosité mathématique

Soit la suite de Fibonacci, où chaque terme est la somme des deux précédents :

suite de Fibonacci

La limite de cette suite est évidemment infinie mais la limite de (un+1 / un) tend quant à elle vers le nombre d’or. Grâce au tableur, les premiers termes de cette suite apparaissent en un clin d’œil.

suite de Fibonacci

Le nombre d'or est aussi la limite de la suite définie par une équation de récurrence d’ordre 1 :

suite

Ceci est parfaitement logique dans la mesure où si l’on élève au carré les deux membres de l’équation on retrouve notre trinôme (à l’infini, un = un+1 = φ). Conséquence :

conséquence 1

Si au contraire on divise les deux membres de l’équation par φ, on obtient évidemment ceci :

conséquence 2

On pourrait multiplier les égalités qui de prime abord semblent étranges mais qui sont simplement liées entre elles par le trinôme.

Finance

Il existe une théorie descriptive et prévisionnelle de l’évolution des prix sur les marchés financiers dans laquelle le nombre d’or tient une place importante : les vagues d’Elliott. Il s’agit d’une méthode qui n’a rien de scientifique mais qui connaît un certain succès, surtout depuis le krach de 1987.

 

nombre en or

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés