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(et fondements mathématiques)

Le modèle de Wilson avec tarifs dégressifs

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Gestion des stocks en milieu certain avec tarifs dégressifs

Dans le louable dessein de gérer les stocks du mieux possible, quelques améliorations peuvent être apportées au basique modèle de Wilson. Notamment des tarifs dégressifs.

En effet, il est courant que les conditions soient plus avantageuses au-delà d’une certaine quantité. Ceci peut ou non jouer sur la quantité optimale car, avec ce genre de complication, on peut aussi bien trouver plusieurs quantités optimales qu’aucune solution. De plus, nous verrons que lorsque les tarifs sont dégressifs, le meilleur choix n’est pas forcément celui d’une optimalité.

La dégressivité peut être uniforme, c’est-à-dire s’appliquer à l’ensemble de la commande. En tant que particulier, vous connaissez ce système si vous faites développer vos photos via le web. Par exemple, le développement de 150 photos peut coûter moins cher que le développement de 140 car, à partir de 150, l’ensemble des tirages est à un prix inférieur. En revanche, la remise est incrémentale si le prix diffère selon la tranche (comme pour l’impôt sur le revenu).

Le modèle de Wilson n’est pas fondamentalement modifié par ce genre de sophistication et le plus simple est d’illustrer sans plus attendre ces deux options.

Tarif dégressif uniforme

Partons d’un exemple donné en page modèle de Wilson. Un grossiste prévoit une demande annuelle de 6 000 poulaillers, un taux de possession du stock de 5 % (coût de possession (CPS) par rapport à la valeur de la marchandise sur l’année), un coût de passation d’une commande (CPC) de 72 € par commande et un prix d’achat unitaire HT de 85 €. Le modèle de Wilson montre alors que la commande optimale s’élève à 450 poulaillers. Mais le fournisseur fait une offre : à partir de 500 unités, le prix tombe à 80 € HT pour l’ensemble de la commande. Le grossiste doit-il revoir sa position ?

À partir de 500 unités, nous avons :

quantité par commande

Raté ! Inférieure à 500, cette quantité n’est pas compatible avec la condition commerciale ! Le grossiste doit-il rejeter pour autant la proposition ? Pas sûr. Ceci signifie juste qu’il doit comparer la situation précédente avec une commande de 500 et pas une unité de plus pour la bonne raison que la fonction de coût est strictement croissante au-delà de cette borne et qu’il est donc inutile de chercher au-delà.

Actuellement, les frais totaux annuels de stockage s’élèvent à 1 914 €.

Si le grossiste opte pour des commandes de 500 poulaillers, il en passera 12 dans l’année (simple à gérer !) avec 72 € de CPC, soit 864 €. Le stock moyen s’établira à la moitié des 500, soit 250 unités et donc le CPS s’établira à 80 × 250 × 5 % = 1 000. Le coût total est la somme des deux (hors valeur des marchandises) : 1 864 €.

Bien que n’il ne parvienne pas à un optimum, le grossiste à intérêt à accepter l’offre, d’autant qu’il améliorera sa marge de 30 000 € s’il maintient le même prix de revente. En revanche, le besoin en fonds de roulement va progresser de 875 € (la valeur du stock moyen passant de 225 × 85 = 19 125 € à 250 × 80 = 20 000 €), augmentant du même coup légèrement le CPS. Il est également possible qu’une petite rallonge soit demandée au banquier. Mais ces petits inconvénients ne pèsent pas grand-chose à côté de la belle affaire qui se présente.

Conclusion : on retient un optimum lorsqu’il appartient à sa zone tarifaire. Sinon, on calcule le coût correspondant à la borne inférieure de cette zone (si l’optimum se situe en dessous) ou à la borne supérieure (si l’optimum se trouve au-delà). Pour finir, on compare les frais annuels de stockage retenus pour chacune des tranches et on retient la quantité qui correspond au coût total le moins élevé.

Tarif dégressif incrémental

Second exemple. Nous allons maintenant supposer que les 499 premiers poulaillers valent quoi qu’il advienne 85 € HT l’unité mais qu’à partir du cinq-centième ils sont facturés 80 € HT pièce.

À combien s’élève le CPC ? Stricto sensu à 72 € mais on doit ajouter une partie de la valeur des marchandises. On intègre la différence de prix (donc 5 €) pour toute la première tranche (donc 499 articles). C’est la spécificité du calcul dégressif incrémental. S’il existe plusieurs tranches, on intègre à chaque niveau tous les suppléments qu’il a fallu payer par rapport au prix de la tranche.

Et le CPS ? Comme d’habitude, c’est le prix de l’article affecté d’un taux de possession. Ici, 80 × 5 % = 4 € pour un article entreposé pendant un an.

quantité par commande

Ce qui implique un peu plus de deux commandes par an en moyenne (2,16). On voit que l’impact sur la gestion de stock est cette fois-ci très important. Si malheureusement la capacité de stockage du grossiste était trop limitée, il faudrait alors comparer le coût correspondant à la quantité qui provoque la saturation de l’espace de stockage avec l’optimum trouvé sur la tranche précédente.

Le principe demeure identique si plusieurs tranches de tarifs s’ajoutent à celles-ci.

Déjà terminé ? Nous n’allons pas nous quitter comme ça… Retrouvons q en dérivant la fonction de coût total.

Complément

Nous devons exprimer les trois composantes du coût total en fonction de q.

Quelle est la valeur d’une commande ? (499 x 85) + [(q – 499) × 80] soit 42 415 + 80q – 39 920 soit 2 495 + 80q.

Quelle est la valeur de TOUTES les commandes ? On ignore leur nombre n mais c’est forcément 6 000 / q.

coût des articles

Ajoutons à cette première expression une deuxième, celle du coût global des passations de commandes. Il suffit de multiplier 72 € par n. Donc :

coût des passations

Enfin, troisième élément, le coût global de possession du stock sur l’année. On applique le taux de possession de 5 % au stock moyen, lequel est la moitié de la valeur de la commande calculée un peu plus haut.

coût de possession

La formulation de la fonction de coût est la somme de ces trois expressions.

fonction de coût

La dérivée est donc :

dérivée

Pour quelle valeur positive cette dérivée s’annule-t-elle ? Le calcul n’est pas difficile. On trouve q = 2 775 environ.

Question subsidiaire : pourquoi intégrer le coût des articles alors qu’ils n’apparaissent pas pour déterminer la formule de Wilson « simple » ? Simplement parce que si tous les articles sont au même prix, leur coût total ne dépend pas de q (coût représenté graphiquement par une droite horizontale). C’est un nombre, par exemple 6 000 × 85, soit 510 000 €. La dérivée d’un nombre étant nulle, la prise en compte de la valeur d’articles à prix unique ne change donc rien à l’affaire.

 

rabais

 

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