Dérivées partielles de fonctions de deux variables
L’analyse mathématique est un outil épatant pour modéliser des liaisons, tant en micro qu’en macroéconomie. Oui mais voilà, nos chères fonctions d’une seule variable qui répondent généralement au nom si poétique de \(f\) se déclarent incompétentes lorsque PLUSIEURS liaisons entrent significativement en jeu…
Dérivées partielles
D'où l'existence, pour ne pas dire la prolifération, de fonctions de deux variables. Leur étude nécesssite évidemment celle de leurs dérivées.
Lorsqu'elles sont dérivables, de telles fonctions le sont par une seule de leurs deux variables. C'est pourquoi l'on parle de dérivées partielles. Il ne faut donc pas les confondre avec les différentielles, outils d'étude des variations conjointes. Le calcul d’une dérivée partielle implique que l’on FIXE l’une des deux variables, qui dès lors devient une constante.
Une fonction de deux variables dérivable \(f(x\,; y)\) admet donc deux dérivées partielles, l'une en \(x\) et l'autre en \(y.\)
Attention, l'existence de deux dérivées partielles en un point n'implique pas que la fonction est continue en ce point. Il faut pour cela que les dérivées partielles y soient elles-mêmes continues. Si elles le sont sur l'ensemble de définition, on dit que la fonction est de classe \(C^1.\) A contrario, une fonction de deux variables de classe \(C^1\) est continue en tout point de son ensemble de définition.
Soit \(f(x,y)\) définie au voisinage du point \(Z(x_0\,;y_0).\) Que se passe-t-il si l’on augmente la valeur de \(x_0\) de \(\Delta_x\) ? Réponse : un accroissement partiel. Nul besoin de beaucoup réfléchir pour en déduire cette écriture :
\(\Delta_x Z\) \(=\) \(f(x_0 + \Delta_x, y_0)-f(x_0,y_0)\)
La dérivée partielle est l’éventuelle limite finie du rapport \(\frac{\Delta_x Z}{\Delta x}.\) Il existe plusieurs façons de l’écrire.
\(f'(x,y)\) \(= \) \(\frac{\partial z}{\partial x}\) \(=\) \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{f({x_0} + \Delta x,{y_0}) - f({x_0},{y_0})}}{{\Delta x}}} \right]\)
Vous devinerez sans mal ce qui se passe si l’on dérive la fonction par rapport à \(y.\) Le « D rond » est le symbole de la dérivée partielle. Ne pas le confondre avec le delta minuscule \((\delta)\) et ne pas assimiler cette écriture à un quotient !
En un point, il y a donc deux dérivées partielles, l'une par rapport à la première variable et l'autre par rapport à la seconde. Le vecteur ligne composé de ces deux valeurs est nommé le gradient. En revanche, il existe quatre dérivées secondes (voir la matrice hessienne) dont deux identiques.
Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions qui admettent des dérivées partielles en un point et si \(\lambda\) est un réel, alors \(f+g,\) \(f \times g\) et \(\lambda f\) admettent aussi des dérivées partielles en ce point, ainsi que \(\frac{1}{f}\) pour peu que \(f \ne 0.\) On retrouve d'ailleurs les règles d'opérations sur dérivées de fonctions à une variable.
Une application simple peut consister à étudier l'utilité marginale d'un consommateur dont on connaît la fonction d'iso-utilité entre deux produits.
Exemple facile
\(f(x,y) = x^2 \ln y.\) La dérivée par rapport à \(x\) est \(2x \ln y\) et la dérivée par rapport à \(y\) est \(\frac{x^2}{y}.\)
Le gradient de \(f\) au point de coordonnées \((1\,;1),\) par exemple, est le vecteur \((0\,; 1).\)
Autre exemple avec dérivation de fonction logarithme
\(f(x,y) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)\)
Le premier réflexe à avoir est de réécrire cette fonction sous une forme qui se prête plus volontiers à la dérivation.
\(f(x,y) = -\frac{1}{2}\ln (x^2 + y^2)\)
Voilà qui est mieux. Rappelons que ce tour de passe-passe a été rendu possible par les propriétés des logarithmes et par le fait que l’inverse d’une racine carrée équivaut à une puissance \(-\frac{1}{2}.\) (c’est du niveau du secondaire). Si l’on souhaite dériver la fonction par rapport à \(x,\) le calcul ne pose aucune difficulté et là encore, bien que les fonctions de deux variables ne soient pas à leur programme, les élèves de terminale de la plupart des filières sont capables de le faire :
\(\frac{\partial f}{\partial x}\) \(=\) \(-\frac{1}{2} \times \frac{2x}{x^2 + y^2}\) \(=\) \(-\frac{x}{x^2 + y^2}\)
Le tour est (déjà) joué.
Comme chacun le sait, rien de tel qu'une dérivée pour déterminer l'extremum d'une fonction. Un exemple qui illustre cette problématique figure en page moindres carrés.
