Quelques propriétés des paraboles

Paraboles en géométrie (1ère générale)

Cette page a été rédigée pour les élèves de première générale, qui ont découvert les paraboles en analyse : ce sont les courbes représentatives des fonctions du second degré. À présent, nous les étudions dans le cadre de la géométrie. Vous les retrouverez peut-être en physique puisqu’une parabole est une trajectoire tout à fait naturelle (Galilée a montré que la chute d’un projectile était parabolique) ainsi qu’une forme permettant la concentration des ondes (réflecteur d’une antenne parabolique) et des rayonnements lumineux (four solaire). N’oublions pas l’architecture qui l’utilise depuis l’Antiquité car elle confère aux structures une très bonne résistance. Même la tour Eiffel repose sur elle !

tour Eiffel

 

Définitions

Soit le plan muni d’un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j).\)

Soit \(a,\) \(b\) et \(c\) trois réels (\(a ≠ 0\)).

  • Une parabole est une courbe d’équation \(y = ax^2 + bx + c.\)
  • L’axe de la parabole a pour équation \(x = -\frac{b}{2a}.\)
  • Le discriminant du trinôme est \(Δ = b^2 – 4ac.\)
  • Le sommet de la parabole a pour coordonnées \(\left(-\frac{b}{2a}\, ;-\frac{Δ}{4a}\right).\)

 

Forme canonique

Le trinôme \( ax^2 + bx + c\) s’écrit sous forme canonique :

\(a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{Δ}{4a}\)

On condense cette expression un peu lourde en posant \(α = -\frac{b}{2a}\) et \(β = - \frac{Δ}{4a}.\)

D’où \(y = a(x - α)^2 + β.\)

 

Exemples

Algébrique :

Soit la parabole d’équation \(y = x^2 – 2x + 2\)

Dans cet exemple, \(a = 1,\) \(b = -2\) et \(c = 2.\)

Son axe de symétrie à pour équation \(x = 1\) car \(-\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 × 1}\)

Son discriminant est \(Δ = (-2)^2 - 4× 1 × 2 = -4\)

\(-\frac{Δ}{4} = 1\)

La sommet de la parabole a donc pour coordonnées \((1\, ;1).\)

Si l’on fait le lien avec la formule de la forme canonique, ses coordonnées sont \((α\, ;-β).\)

Donc \(y = (x – 1)^2 + 1\)

Graphique :

parabole

Précisons que les points de coordonnées \((-2\, ;1),\) \((-1\, ;-1)\) et \((0\, ;1)\) appartiennent à la parabole.

Son axe de symétrie a pour équation \(x = -1.\) Bien sûr, on le voit sur la figure mais c’est grâce aux points dont on connaît les coordonnées qu’il est possible de l’affirmer. Les points de coordonnées \((-2\, ;1)\) et \((0\, ;1)\) ayant la même ordonnée, l’axe se situe à égale distance des deux abscisses. Calculons la moyenne : \(\frac{-2+0}{2} = -1.\)

Donc les coordonnées du sommet sont \((-1\, ;-1)\) puisque l’énoncé nous précise l’ordonnée de la courbe pour l’abscisse \(x = -1.\)

La forme canonique est \(y = a(x + 1)^2 – 1.\) Il nous faut trouver \(a.\)

Remplaçons les valeurs de \(x\) et de \(y\) par les coordonnées de l’un des points (pas le sommet car nous obtiendrions -1 = -1 et nous ne serions pas plus avancés).

\(1 = a(-2+1)^2 -1\)
\(⇔ 1 = a – 1\)
\(⇔ a = 2\)

Donc \(y = 2(x + 1)^2 – 1\)

Développons.

\(y = 2(x^2 + 2x + 1) – 1\)
\(⇔y = 2x^2 + 4x + 1\)

Voir aussi les exercices sur équations de figures et celui sur une famille de paraboles.

 

Pour aller plus loin

Cette section n’est pas au programme de première. Elle vous apportera un petit supplément de culture mathématique.

Les paraboles sont des coniques, au même titre que les hyperboles et les ellipses.

Les coniques ont été étudiées (et nommées) par le mathématicien grec Apollonios de Perge qui publia l’un des grands classiques de l’histoire des mathématiques : les Coniques.

Apollonios était un contemporain d’Archimède (troisième siècle av. J.C.). À l’époque, les Grecs avaient établi de nombreuses colonies dans le monde méditerranéen. Tandis qu’Archimède vivait à Syracuse (Sicile), Apollonios naquit à Perge, ou Perga (Turquie) et travailla à Alexandrie (Égypte).

Il découvrit les propriétés des coniques sur lesquelles se sont appuyés les plus grands génies (Newton, Kepler…) et que l’ingénierie utilise depuis vingt-deux siècles.

Pourquoi ce terme de conique ? Parce qu’il s’agit de la région d'un cône traversé par un plan. Pour obtenir une parabole, il faut que celui-ci ait la même pente que le cône.

Mais rien ne vaut de petites expériences. Pour découvrir les coniques à la plage…

https://www.youtube.com/watch?v=eFPhYYKCyFc