Les droites sécantes dans l'espace

Exercices sur droites sécantes (terminale)

Vous savez depuis fort longtemps déterminer le point d'intersection de deux droites dans le plan (voir les positions relatives de droites). Mais dans l'espace, c'est une autre affaire !

Toutefois, après la lecture de cette page, vous aurez acquis tout le savoir-faire nécessaire pour résoudre ce type d'énigme.

 

Rappel : la représentation paramétrique

Soit un espace muni d’un repère orthonormé \((O\,;\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k ).\) Soit \((d)\) une droite de cet espace passant par le point \(A(x_A\, ;x_B\, ;x_C)\) et de vecteur directeur non nul \(\overrightarrow{u}(a\, ;b\, ;c).\)

Pour tout point \(M(x\, ;y\, ;z) ∈ (d)\) il existe un réel \(t\) tel que :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {x_A} + at}\\
{y = {y_A} + bt}\\
{z = {z_A} + ct}
\end{array}} \right.\)

C'est une représentation paramétrique. Il en existe une infinité puisqu’une droite possède une infinité de points.

Pour trouver l'éventuel point d’intersection de deux droites, il faut résoudre un système de trois équations à deux inconnues. La technique consiste à déterminer les solutions possibles avec deux équations puis à vérifier le résultat avec la troisième. Rappelons que nous sommes dans l’espace et que deux droites peuvent n’être ni parallèles ni sécantes, d’où l’importance de cette dernière étape (illustration graphique en page de droites et plans sécants).

 

Exercice 1

Soit deux droites \((D)\) et \((D')\) d’équations paramétriques :

\((D):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4t + 2}\\ {y = - 7t + 1}\\ {z = - 2t - 3} \end{array}} \right.\) avec \(t \in \mathbb {R}\)

\((D'):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = -k - 5}\\ {y = 4k + 2}\\ {z = - 2k + 13} \end{array}} \right.\) avec \(k \in \mathbb {R}\)

Trouver les coordonnées du point \(A,\) intersection de \((D)\) et \((D'),\) s’il existe.

sécantes dans l'espace

 

Corrigé 1

Les coordonnées de \(A\) doivent vérifier les deux systèmes. Donc :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4t + 2 = - k - 5}\\ { - 7t + 1 = 4k + 2}\\ { - 2t - 3 = - 2k + 13} \end{array}} \right.\)

Il s’agit d’un système de trois équations à deux inconnues.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4t + k = - 7}\\ { - 7t - 4k = 1}\\ { - 2t + 2k = 16} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = - 7 - 4t}\\ { - 7t - 4( - 7 - 4t) = 1}\\ { - 2t + 2k = 16} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = - 7 - 4t}\\ {9t = - 27}\\ { - 2t + 2k = 16} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = - 7 + 12}\\ {t = - 3}\\ { - 2t + 2k = 16} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = 5}\\ {t = - 3}\\ { - 2t + 2k = 16} \end{array}} \right.\)

La troisième équation est vérifiée : \((-2) \times (-3) + 2 \times 5\) \(= 16.\)

Nous remplaçons donc \(t\) et \(k\) par leurs valeurs dans l’une des deux représentations paramétriques.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 10}\\ {y = 22}\\ {z = 3} \end{array}} \right.\)

Par conséquent, le point d’intersection des droites \((D)\) et \((D')\) est \(A(-10\,;22\,;3).\)

 

Exercice 2

Soit deux droites \((\Delta)\) et \((\Delta')\) d’équations paramétriques :

\((\Delta):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3t + 1}\\ {y = t + 2}\\ {z = - 2t} \end{array}} \right.\) avec \(t \in \mathbb {R}\)

\((\Delta'):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2k + 1}\\ {y = -k + 2}\\ {z = 4k + 1} \end{array}} \right.\) avec \(k \in \mathbb {R}\)

Trouver les coordonnées du point d'intersection de \((\Delta)\) et \((\Delta'),\) s’il existe.

 

Corrigé 2

Les coordonnées du point d'intersection doivent vérifier les deux systèmes. Nous détaillerons moins les étapes que dans l'exercice précédent.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3t + 1 = 2k + 1}\\ {t + 2 = - k + 2}\\ { - 2t = 4k + 1} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3t - 2k = 0}\\ {t + k = 0}\\ {2t + 4k + 1 = 0} \end{array}} \right.\)

La résolution des deux premières équations nous conduit à \(t = 0\) et \(k = 0.\) Or, si l'on remplace \(t\) et \(k\) par zéro dans la troisième équation, nous obtenons une égalité fausse.

Hélas, ces deux droites ne se rencontreront jamais. C'est sur cette triste fin que cette page s'achève.