L'associativité du barycentre

Exercices sur l'associativité du barycentre

Cette page d’exercices illustre l’associativité du barycentre. Cette propriété fait partie des possibles aménagements du programme de maths de terminale générale (spécialité maths) et n'est donc pas enseignée à tous les élèves.

 

Le principe

Il revient au même de déterminer un barycentre entre trois points pondérés ou d’utiliser l’un de ces points et le barycentre des deux autres. La pondération de ce barycentre « partiel » est alors la somme des pondérations des deux points qui permettent sa construction. Cette propriété s’étend à un nombre quelconque de points.

 

Rappel : détermination d’un barycentre

Des points sont situés dans un plan. Certains sont plus « importants » que d’autres. En d’autres termes, ils ne sont pas toujours tous pondérés de la même façon et ils peuvent même l’être négativement. On note \((A,a)\) un point \(A\) doté d’une pondération \(a\).

Comment déterminer le barycentre \(G\) entre \((A,a)\) et \((B,b)\) ?

\[\overrightarrow {AG} = \frac{b}{{a + b}}\overrightarrow {AG} \]

C’est tout simplement le principe d’une moyenne pondérée appliquée aux vecteurs.

 

Exercice 1

Soit un triangle quelconque \(ABC\) et deux points : \(Z\) qui est le barycentre des points pondérés \((A,1)\) et (\(C,2\)) et \(M,\) barycentre de (\(Z,2\)) et (\(B,1\)). Exprimer \(M\) en fonction de \(A\), \(B\) et \(C\).

 

Corrigé

À titre d’information, voyons à quoi peut s’appliquer la description (Note : \(ZB\) et \(CA\) ne forment un angle droit que pour la commodité du dessin, l’angle pouvant fort bien être quelconque. Quant aux points représentés par des étoiles, ils donnent à la figure un petit air de constellation. Ne pas imiter).

triangle

On doit donc remplacer \(Z\) par \(A\) et \(C\) dans la définition de \(M\). Mais quelles pondérations leur affecter ?

Les deux points doivent se répartir une pondération de 2 (celle de \(Z\)). Or, c’est une pondération totale de 3 qui permet d’obtenir \(Z\) avec \(A\) et \(C\). Il faut donc multiplier ces dernières par \(\frac{2}{3}\).

Donc, \(M\) est le barycentre de \(\left( {A,\frac{2}{3}} \right)\), \(\left( {C,\frac{4}{3}} \right)\) et (\(B,1\)).

 

Exercice 2

Réalisons à présent le travail inverse. Nous partons de trois points pondérés et le but est de dessiner le triangle et son centre de gravité.

Les trois points sont (\(A, 2\)), (\(B,3\)) et (\(C,6\)).

bateau

 

Corrigé

Commençons par placer un barycentre partiel \(Z\) entre \(B\) et \(C\). Le poids de \(C\) est deux fois supérieur à celui de \(B\). \(Z\) se trouve donc au tiers de la distance entre \(C\) et \(B\). Autrement dit, \(CZ = \frac{1}{3}CB\).

Une fois placé \(Z\), il reste à trouver le barycentre \(M\) sur le segment \([AZ]\).

Le poids de \(Z\) est 9 et celui de \(A\) est 2. Donc \(ZM = \frac{2}{{11}}ZA\).

triangle

Évidemment, nous aurions aussi bien pu commencer l’exercice en déterminant un barycentre partiel entre \(A\) et \(C \) ou entre \(A\) et \(B\)…

 

Exercice 3

Tracer un quadrilatère \(ABCD\). Où se situe le barycentre \(G\) si les points sont pondérés ainsi : (\(A,2\)), (\(B,3\)), (\(C,6\)) et (\(D,-1\)) ?

 

Corrigé

Dans la mesure où la somme des pondérations de \(A\) et \(B\) est égale à la somme des pondérations de \(C\) et \(D\), il sera pratique de déterminer deux barycentres partiels, \({G_1}\) entre \(A\) et \(B\) et \({G_2}\) entre \(C\) et \(D.\) Dès lors, \( G\) se trouvera au milieu de \(\left[ {{G_1}{G_2}} \right]\).

Ainsi : \(\overrightarrow {A{G_1}} = \frac{3}{{2 + 3}}\overrightarrow {AB} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \)

Et : \(\overrightarrow {D{G_2}} = \frac{6}{{6 - 1}}\overrightarrow {DC} = \frac{6}{5}\overrightarrow {DC} \)

\({G_1}\) et \({G_2}\) peuvent désormais encadrer \(G\).

\(G = 0,5{G_1}{G_2}\).

Une proposition d’illustration…

quadrilatère

 

barycentres associés