Résolution d'inéquations trigonométriques
Vous avez certainement apprécié la page sur les équations trigonométriques. Voici la suite tant attendue : des méthodes de résolution d’exercices sur les inéquations trigonométriques !
En traçant le cercle…
D’abord examinons le cas que vous rencontrerez le plus probablement, celui qui vous amène à poser une inégalité de type \(\cos(x) > \cos(a)\) ou \(\sin(x) > \sin(a)\)…
Avant toute chose, faites très attention à l’intervalle sur lequel des solutions sont attendues. Nous y reviendrons.
Vous placerez sur le cercle trigonométrique les valeurs de \(a\) et \(-a\) si vous résolvez une inéquation avec des cosinus et les valeurs de \(a\) et \(π - a\) si vous en résolvez une avec des sinus.
Vous pourrez ainsi tracer les intervalles, non pas sous forme de segments de droite comme vous avez appris à le faire en seconde, mais sur des arcs de cercle.
Ensuite, vous présentez les solutions dans les limites de l’intervalle donné dans l’énoncé.
Prenons un premier exemple.
Résolvons \(2\sin(x) - \sqrt{2} < 0\) sur \([0\, ;2π[.\)
Comme nous l’avons vu, la première étape consiste à modifier l’expression pour obtenir une inéquation entre deux sinus.
\(2\sin(x) < \sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow \sin(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Notre connaissance du cercle permet d’illustrer cette inégalité. On sait que c’est le sinus de \(\frac{π}{4}\) et de \(\frac{3π}{4}\) qui est égal à \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Ci-dessous, l’ensemble des solutions figure en rouge.
Il reste une dernière étape : adapter ce que l’on voit sur le cercle à l’ensemble de définition \([0\, ;2π[.\)
On part de 0 et on suit le cercle dans le sens antihoraire. On s’arrête à \(\frac{π}{4}\) puis on reprend à \(\frac{3π}{4}\) pour terminer le cercle.
Donc \(S = [0\, ;\frac{π}{4}[ \cup ]\frac{3π}{4}\, ;2π[.\)
Si l’inéquation avait dû être résolue sur \(]-π\, ;π]\) nous aurions eu pour solutions \(S =\) \(]-π\, ;\frac{π}{4}[ \cup ] \frac{3π}{4}\, ;π].\)
Deuxième exemple.
Résolvons \(\cos(x) > \frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \(]-\pi\, ;π].\)
Le même raisonnement nous conduit aux solutions suivantes : \(S = ]-\frac{π}{4}\, ; \frac{π}{4}[\)
Si l’inéquation avait dû être résolue sur \(]0 \, ; 2π],\) les solutions auraient été \(S =\) \(]0\, \frac{π}{4}[ ∪ ]\frac{7\pi}{4}\,;2\pi].\)
Multiplication
Voyons à présent un cas à part : \(\sin(x)\cos(x) \leqslant 0\) sur \([0\, ;2π].\)
On applique tout simplement le théorème du produit nul : un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin (x) \leqslant 0}\\
{\cos (x) \geqslant 0}
\end{array}} \right.\) ou \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin (x) \geqslant 0}\\
{\cos (x) \leqslant 0}
\end{array}} \right.\)
Inutile de se compliquer la vie avec un tableau de signes ; il suffit là encore de connaître le cercle :
\(S = [\frac{π}{2}\, ;π] ∪ [\frac{3π}{2}\, ;2π]\)
Bien entendu, vous adapterez là aussi l'ensemble des solutions si vous devez résoudre cette même inéquation dans un autre intervalle.
