Les angles associés

Angles associés et calculatrices

Cette page propose un simple exercice, très court, de niveau première générale après un rappel des angles associés. Il servira de prétexte pour montrer l’utilisation de calculatrices sur la trigonométrie.

 

Rappel

La logique des angles associés est expliquée en page sinus et cosinus. Vous pouvez vous y référer pour comprendre le principe car ci-dessous, les formules vous sont brutalement rappelées sans explication.

D’abord, vous savez que tout sinus et cosinus d’une valeur est égal à cette même valeur modulo \(2\pi.\) Par exemple, \(\sin(3\pi) = \sin(\pi).\)

\(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\) et \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)

Il est également facile de se souvenir des égalités \(\cos(x) = \cos(-x)\) et \(\sin(-x) = -\sin(x)\) puisqu’elles définissent la parité des fonctions trigonométriques.

Relations de symétrie (dans le cercle trigonométrique)

Ces relations font intervenir \(\pi.\)

\(\cos(π + x) = -\cos(x)\)
\(\cos(π - x) = \cos(x - π) = -\cos(x)\)
\(\sin(π + x) = -\sin(x)\)
\(\sin(π - x) = \sin(x)\)

Relations de déphasage

Elles font intervenir \(\frac{π}{2}\) et permettent de passer du sinus au cosinus et inversement.

\(\cos(\frac{π}{2} + x) = -\sin(x)\)
\(\cos(\frac{π}{2} – x) = \sin(x)\)
\(\sin(\frac{π}{2} + x) = \cos(x)\)
\(\sin(\frac{π}{2} – x) = \cos(x)\)

 

Méthode

Souvent, il faut ôter \(2kπ\) avec \(k ∈ \mathbb{Z}\) d’une expression pour arriver à l’une des formules ci-dessus.

Par exemple, pour simplifier \(\sin(\frac{9π}{2} + x)\), on commence par remarquer que \(\frac{9π}{2}\) peut s’écrire \(\frac{8π}{2} + \frac{π}{2}\) donc \(4π + \frac{π}{2}.\) Comme 4 est un nombre pair, on élimine tout simplement \(4π.\)

\(\sin(\frac{9π}{2} + x) = \sin(\frac{π}{2} + x) = \cos(x)\)

Sinon, il faut surtout avoir en tête le cercle trigonométrique…

 

Exercice

Simplifier l’écriture :

\(A = \sin(x - \frac{π}{2}) + \sin(\frac{5π}{2} + x) + \cos(11π - x)\)

 

Corrigé

Nous repérons deux termes qui feront intervenir les relations de déphasage (ceux avec les sinus) et une relation de symétrie, avec le cosinus. Nous nous dirigeons donc vers une écriture qui ne comprendra que des cosinus.

\(\sin(x - \frac{π}{2})= -\sin(\frac{π}{2} – x) = -\cos(x)\)
\(\sin(\frac{5π}{2} + x) = \sin(\frac{π}{2} + x) = \cos(x)\)
\(\cos(11π - x) = \cos(π - x) = -\cos(x)\)

Donc \(A\) \(= -\cos(x) + \cos(x) - \cos(x)\) \(= -\cos(x)\)

Nous utiliserons deux calculatrices pour valider notre résultat en prenant pour exemple \(x = 3.\) Il ne s’agit pas de démontrer sa justesse (un contre-exemple montre qu’un résultat est faux tandis qu’un exemple ne montre pas qu’il est juste) puis de vérifier si notre première calculatrice fonctionne bien, mais seulement de montrer comment réaliser des opérations simples de trigonométrie avec une TI-83 et une Casio Graph-35+.

 

Casio Graph-35+

Vérifiez que votre calculatrice est bien en mode radians. Touche SET UP (c’est-à-dire SHIFT puis MENU). Si ce n’est pas le cas, choisissez Rad avec la touche F2. Puis EXE.

radians

\(π\) s’obtient par les touches SHIFT puis ×10x.

exemple

 

TI

Les Ti-82 Advanced et TI-83 Plus ne posent aucune difficulté. C’est avec la touche mode que vous obtenez le menu par lequel vous choisissez le radian. Ensuite, vous utilisez tout simplement les touches sin et cos.

Ces touches, la TI-83 Premium CE n'en est pas pourvue. Il faut appuyer sur la touche trig pour qu’un menu vous propose le choix entre les trois fonctions trigonométriques et les trois trigonométriques inverses.

trigo avec TI

C’est donc un peu long mais c’est à ce prix que le nombre de touches reste raisonnable !