Les multiples et diviseurs

Divisibilité (niveau seconde)

Les notions de divisibilité (diviseur, multiple, nombre premier) sont enseignées au collège. Le niveau de difficulté de cette page est celui du programme de seconde (le même sujet mais de niveau terminale se trouve en page divisibilité).

Ci-dessous, \(a\) et \(b\) seront toujours des entiers.

 

Définitions

\(b\) est un multiple de \(a\) s’il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka.\) On dit que \(a\) est un diviseur de \(b.\)

Par exemple, 18 est un multiple de 9 car il existe un entier \(k = 2\) tel que \(18 = 9 \times 2.\)

9 est donc un diviseur de 18. On dit aussi que 18 est divisible par 9.

En revanche, 5 n’est pas un multiple de 2 car \(5 = 2 \times 2,5\) et 2,5 n’est pas un entier.

 

Propriété

La somme de deux multiples de \(a\) est un multiple de \(a.\)

Par exemple, 10 et 25 sont deux multiples de 5. Leur somme, c’est-à-dire 35, est aussi un multiple de 5.

Démonstration (très facile !) : soit \(b\) un multiple de \(a.\) On peut écrire \(b = ka.\) Soit \(b’\) un multiple de \(a.\) On peut écrire \(b' = k'a\) (\(b',\) \(k\) et \(k'\) étant des entiers). Donc la somme \(b + b’\) est égale à \(ka + k’a = a(k + k’).\) Or la somme de deux entiers est un entier. Donc \(k + k’\) est un entier. La somme des deux multiples (\(b\) et \(b’\)) est bien divisible par \(a,\) le diviseur commun à \(b\) et à \(b’.\)

 

Critères de divisibilité (si votre calculatrice a une panne de batterie)

Il existe des astuces pour déterminer si un nombre est divisible par certains entiers. Toutes ne sont pas au programme de seconde mais ça peut être intéressant à savoir…

Un nombre pair est divisible par 2.

Un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 3 est divisible par 3. Par exemple 723. Nous obtenons \(7 + 2 + 3 = 12,\) et 12 est divisible par 3 (on peut d’ailleurs le vérifier :\(1 + 2 = 3\)).

Un nombre pair qui, divisé par 2, à pour quotient un nombre pair est divisible par 4. En fait, il suffit de s’intéresser aux deux derniers chiffres (dizaine et unité). Ainsi 56 844 est divisible par 4 car 44 est divisible par 4 (ce qui est une bonne nouvelle).

Un nombre qui se termine par 0 ou 5 est divisible par 5.

Un nombre pair dont la somme des chiffres est un multiple de 3 est un multiple de 6.

Pour les multiples de 7, c’est un peu plus compliqué. Il faut multiplier le dernier chiffre par 2 et ôter le résultat au nombre privé du dernier chiffre. Par exemple, 357 est un multiple de 7. Le dernier chiffre multiplié par 2 donne \(7 \times 2 = 14.\) Le nombre obtenu en enlevant le dernier chiffre à 357 est 35. Il reste faire la soustraction \(35 - 14 = 21.\) Nous sommes bien en présence d’un multiple de 7. Si les nombres à diviser sont très grands et que vous ne savez pas si le résultat obtenu est un multiple de 7, renouvelez l’opération avec ce dernier.

Un nombre divisible par 4 qui est pair est divisible par 8. Comme 1 000 est divisible par 8, si le nombre à diviser est très grand ne faites l’opération que sur les trois derniers chiffres. Par exemple, 54 224 est-il divisible par 8 ? Il suffit de s’intéresser à 224. Divisé par 2, on obtient 112. Encore divisé par 2, on obtient 56. Le nombre est pair. Donc 54 224 est divisible par 8.

Un nombre dont la somme des chiffres est un multiple de 9 est divisible par 9.

Un nombre qui se termine par 0 est un multiple de 10.

La division par 11 est moins simple à déceler. Elle est très facile jusqu’à 100 puisque c’est la répétition des deux mêmes chiffres qui indique la divisibilité. Ensuite, il existe quelques critères simples pour certains multiples. Pour les nombres à trois chiffres, ce peut être la somme du premier et du troisième qui donne le deuxième (exemple : on sait que \(253 = 11 \times 23\) car le chiffre des dizaines, 5, est égal à \(2 + 3,\) chiffres des centaines plus chiffre des unités). Un nombre palindrome (qui se lit dans les deux sens, comme 52 25) est un multiple de 11 s’il a un nombre pair de chiffres. Etc. Mais si la situation est moins évidente, utilisez la méthode infaillible : la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair doit être nulle ou multiple de 11. Exemple : 104 753 est-il un multiple de 11 ? D’une part \(1 + 4 + 5 = 10.\) D’autre part \(0 + 7 + 3 = 10.\) Et \(10 - 10 = 0.\) Nous avons décelé un multiple de 11.

Un nombre est divisible par 12 s’il réunit les conditions de divisibilité par 4 et par 3.

 

Algorithme

Un entier \(b\) est-il un multiple de \(a\) ? Maintenant que vous connaissez les astuces pour le déceler « à l’ancienne », vous avez peut-être envie de réaliser un programme pour répondre plus rapidement à cette question…

Voici une suggestion de programme Python :

print('B est-il un multiple de A ?')

A = int(input('A = '))
B = int(input('B = '))

if B%A == 0:
    print('Oui')

else:
    print('Non')

Bien sûr, vous pouvez préférer introduire une fonction ou améliorer le programme d’une façon ou d’une autre…

 

Exercices

1- Combien existe-t-il de multiples de 13 entre 1 et 1 000 ?

2- Soit \(a = 9k\) et \(b = 6k\)

Montrer que \(a\) et \(b\) sont des multiples de 3.

9 est-il un diviseur de \(a + b\) ?

3- On dispose de 36 cartes avec lesquelles on souhaite former des rangées ayant le même nombre de cartes. Quelles sont toutes les possibilités de rangement ?

Corrigés

1- Si l’on divise 1 000 par 13 on obtient 76,92 (arrondi). Cela signifie qu’il y a 76 multiples de 13 entre 1 et 1 000.

2- \(a = 3 \times 3k.\) Comme \(3k\) est un entier, \(a\) est un multiple de 3.

\(b = 2 \times 3k.\) Pour la même raison, \(b\) est un multiple de 3.

\(a = 9k,\) donc 9 est un diviseur de \(a.\) En revanche, \(b\) n’est pas un multiple de 9. Donc, \(a + b\) n’est pas un multiple de 9 (et donc 9 n’est pas un diviseur de  \(a + b,\) ce qui est bien dommage).

3- 36 est un multiple de 1, de 2, de 3, de 4, de 6, de 9, de 12, de 18 et de 36. Il y a donc neuf possibilités de ranger les cartes (une rangée de 36, deux rangées de 18, trois rangées de 12, etc.).