Exercice sur l'arbelos
Sur cette page nous vous proposons un problème de niveau seconde. Il se fonde sur une figure géométrique étudiée par Archimède, l’arbelos. Il s’agit d’une surface délimitée par trois demi-cercles.
Évidemment, l’arbelos ne figure pas au programme de maths de seconde. Il peut toutefois être rencontré à l’occasion d’un exercice d’application de notions sur les fonctions. Il ne nécessite aucune connaissance en trigonométrie. C’est seulement pour satisfaire votre curiosité que, après son corrigé, quelques propriétés de cette étrange forme géométrique sont indiquées.
Exercice
Soit un demi-cercle de diamètre \(AB = 10.\) Soit un point \(C\) d’abscisse \(x\) appartenant à \([AB]\) et deux demi-cercles de diamètres \(AC\) et \(BC.\)
1- Le périmètre de la figure dépend-il de \(x\) ?
2- L’aire de la figure dépend-elle de \(x\) ?
3- Si oui, pour quelle valeur de \(x\) est-elle maximale ?
Corrigé
1- Soit \(r\) le rayon du cercle de diamètre \(AB.\) Le périmètre d’un cercle est égal à \(2πr,\) donc celui d’un demi-cercle est égal à \(πr.\) Comme \(r = 5,\) l’arc de cercle \(AB\) mesure \(5π.\) Le demi-cercle \(AC\) a pour rayon \(r’ = 0,5x.\) Donc il mesure \(0,5πx.\) De même, le demi-cercle \(BC\) mesure \(0,5(10 - x)π.\)
Soit \(P\) périmètre de l’arbelos. Il est égal à la somme des trois demi-cercles. Donc :
\(P = 5π + 0,5πx + 0,5(10 - x)π\)
\(⇔ P = 5π + 0,5πx + 5π - 0,5xπ\)
\(⇔ P = 10π.\)
Le périmètre ne dépend pas de \(x.\)
2- L’aire d’un disque mesure \(πr^2.\) Donc l’aire du disque de diamètre \(AB\) est de \(25π.\) Celle du demi-disque s’établit donc à \(12,5π.\) Calculons l’aire du demi-disque de diamètre \(AC\) :
\[\frac{{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}\pi }}{2} = \frac{{\frac{{\pi {x^2}}}{4}}}{2} = \frac{{\pi {x^2}}}{8}\]
Et maintenant l’aire du demi-disque de diamètre \(BC\) :
\[\frac{{\left( {\frac{{10 - x}}{2}} \right){\pi ^2}}}{2} = \frac{{\frac{{\pi \left( {100 - 20x + {x^2}} \right)}}{4}}}{2}\] \[= \frac{{\pi \left( {100 - 20x + {x^2}} \right)}}{8}\]
Par conséquent, l’aire de l’arbelos est égale à :
\(\frac{25}{2}\pi - \frac{\pi x^2}{8} - \frac{\pi(100 - 20x + x^2)}{8}\)
\(= \frac{100 \pi - \pi x^2 - 100 \pi + 20 \pi x - \pi x^2}{8}\)
\(= \frac{-2 \pi x^2 + 20 \pi x}{8}\)
\(= \frac{\pi x (-x + 10)}{4}\)
Elle dépend bien de \(x.\)
3- Soit \(f\) la fonction qui pour toute valeur de \(x\) comprise dans l’intervalle \([0\,;10]\) associe le périmètre de l’arbelos.
\(f(0) = 0\) et \(f(10) = 0.\)
Comme \(f\) est une fonction du second degré et qu’elle s’annule pour \(x = 0\) et \(x = 10,\) \(f\) admet un maximum pour \(x = 5.\) L’aire s’établit alors à \(6,25π.\)
Vérification : à partir de la classe de première, on calcule la dérivée de \(f.\) Ainsi \(f’(x) = -0,5π x + 2,5π.\) Le maximum est atteint pour \(f’(x) = 0.\)
\(-0,5 π x + 2,5π = 0\)
\(⇔ -0,5π x = -2,5 π\)
\(⇔ 0,5x = 2,5\)
\(⇔ x = 5\)
Pour aller plus loin
Deux propriétés parmi d’autres.
Propriété 1 (non démontrée)
Soit \(D\) le point du demi-cercle situé sur la perpendiculaire en \(C\) de \([AB].\) Le cercle de diamètre \(CD\) a la même aire que l’arbelos \(ACB.\)
Propriété 2 (non démontrée)
Les points \(A,\) \(B\) et \(D\) forment un triangle rectangle en \(D.\) C’est la propriété (bien connue dès la classe de quatrième) selon laquelle un triangle inscrit dans un cercle est rectangle lorsque deux de ses sommets sont diamétralement opposés.
Soit \(E\) et \(F\) les points d’intersection de ce triangle avec le cercle de diamètre \(CD.\) Alors \(EDFC\) forme un rectangle.
