Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La fiabilité

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Fiabilité et taux de défaillance

Selon mon inséparable Petit Larousse, la fiabilité est définie comme « la probabilité de fonctionnement sans défaillance d’un dispositif dans des conditions spécifiées et pendant une période de temps déterminée ». Au sens statistique, le « dispositif » peut même être vivant puisqu’on retrouve dans l’assurance-vie certaines techniques utilisées par les ingénieurs qualité.

Soit une durée de vie T décomposée en t périodes. La mise en service de l’appareil (ou la naissance de l’individu) se situe au point t = 0. T peut être une variable aléatoire. Dans la situation contraire où l’on relève l’effectif « survivant » à dates régulières, nous sommes dans le cadre d’une série chronologique.

La fiabilité ne s’intéresse pas qu’aux défaillances totales. Une défaillance peut être partielle, c’est-à-dire que les performances de l’appareil diminuent. De plus, les réparations existent dans la plupart des situations. L’espérance du temps moyen de bon fonctionnement entre deux défaillances est appelée MTBF (Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement).

La fonction de défaillance F(t) est la fonction de répartition des probabilités de défaillance. Les probabilités complémentaires de cette fonction constituent la fonction de survie ou de fiabilité, notée R(t) (le R signifiant Reliability). Dans la mesure où l’on approxime la loi de probabilité par une fonction continue, on détermine une fonction de densité en dérivant F(t).

Lorsque l’échantillon est petit, on préfère utiliser la méthode des rangs médians plutôt que les valeurs des observations réelles qui nous conduiraient à des résultats trop aléatoires.

Le taux de défaillance

C’est une probabilité conditionnelle : celle de tomber en panne sachant que l’appareil a bien fonctionné jusqu’alors.

Le taux MOYEN de défaillance sur une période définit l’accroissement de R(t).

Exemple : les Statos débarquent sur la planète Grgrgrgr avec la ferme intention d’éliminer en 8 jours les 3000 Bzbzbzbz qui terrorisent la population locale. Leur tableau de chasse est le suivant, agrémenté des quelques notions que nous venons de voir :

exemple de défaillances

En assurance-vie ou en démographie, ce taux moyen est le quotient de mortalité (probabilité pour les survivants à un âge donné de décéder avant l’âge suivant).

Le taux INSTANTANÉ de défaillance est une notion un plus théorique dans la mesure où l’on observe une période infiniment courte. C’est la limite du taux moyen de défaillance entre les instants t et t’ lorsque (t’ – t) tend vers zéro.

Ce taux évolue selon les valeurs de t. C’est donc une fonction numérique, composée d’une fonction de densité de t rapportée à une fonction de survie.

taux de défaillance

Inversement, si l’on cherche la fonction de survie à partir du taux instantané de défaillance, la formule est un peu plus périlleuse :

fonction de survie

Une courbe de taux de défaillance présente plusieurs configurations.

La plus simple est celle du taux constant. Les durées de vie suivent alors une loi exponentielle. Mais ce n’est pas la plus courante.

Généralement, le taux est croissant. Le matériel s’use, les êtres vivants vieillissent… On regarde alors si une approximation par la loi de Weibull ou par la loi gamma est possible (notamment par un test du khi² ou de Kolmogorov-Smirnov) et on détermine les deux ou trois paramètres de cette loi. Ainsi, une modélisation permet de répondre aux nombreuses questions opérationnelles qui faisaient passer des nuits blanches aux responsables concernés (budget de remplacement de machines, par exemple).

La loi de Weibull s’emploie aussi dans la situation inverse où les pannes sévissent surtout en début de vie.

Enfin, il existe une situation assez classique dans le domaine de la mécanique où, en revanche, cette loi ne nous aide pas. Il s’agit de la fonction « en baignoire » : important taux de mortalité en début de vie, stabilisation puis vieillissement.

 

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