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(et fondements mathématiques)

La loi géométrique

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Distribution géométrique

La loi géométrique est une loi de probabilité simple à comprendre et à utiliser (ouf !). Elle décrit la situation d’une répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes qu’il est nécessaire d’observer avant d’obtenir un succès. Il existe une autre loi très proche pour trouver le nombre d’essais avant d’avoir n succès et c’est la loi de Pascal.

Loi « sans mémoire », elle est la version discrète de la loi exponentielle. Si elle ne figure pas explicitement dans un programme de lycée, elle peut tout à fait se glisser sans dire son nom dans un exercice de première S, le bagage théorique de ce niveau d’étude étant suffisant pour utiliser cette loi dans des situations simples.

Soit p la probabilité de succès et q = (1 – p) la probabilité d’échec. Il est assez évident que la probabilité d’obtenir un succès à la kème épreuve est égale à qk-1p. Les plus sceptiques s’en convaincront en dessinant un arbre de probabilités.

loi géométrique

La variable aléatoire X peut prendre n’importe quelle valeur entière supérieure ou égale à 1. Quant à la fonction de répartition

loi de répartition

Supposons des clients qui achètent des melons au rayon légumes du supermarché. 30 % d’entre eux ont préalablement senti leur melon. Quelle est la probabilité que le quatrième client soit le premier à humer son achat ?

Notons ainsi le fait que X suive une loi géométrique de probabilité 0,3 :

loi géométrique

La probabilité est de 0,73 × 0,3 = 0,1029. Le graphique ci-dessous montre que la probabilité d’avoir un succès dès le premier client est de 0,3 (c’est l’énoncé), puis qu’il est de moins en moins probable d’attendre des clients supplémentaires pour que l’un d’eux se décide à sentir son melon. Il va de soi qu’après un grand nombre de clients, la probabilité qu’aucun n’ait senti le melon est à peu près nulle. On devine au passage que le mode de cette loi est 1.

loi géométrique (graphe)

Pourquoi est-elle qualifiée de géométrique ? On le voit dans notre exemple : la progression des probabilités suit une suite géométrique (Uk) de premier terme U1 = 0,3 et de raison 0,7.

Il existe deux possibilités de formulation de cette loi selon que l’on inclut ou non la dernière épreuve (qui est celle du succès). Ci-dessus, nous aurions aussi bien pu poser la question : quelle est la probabilité que les trois premiers clients ne sentent pas leur melon ? Si la réponse est rigoureusement la même, k n’a pas la même définition… Prudence donc avant de se lancer dans les calculs !

Si l’on considère le succès, comme dans notre exemple, les moments de la loi sont les suivants :

L’espérance est l’inverse de la probabilité de succès.

espérance

Ceci est d’ailleurs assez intuitif. Si l’on a 10 % de chances de réussir à un jeu de hasard, il faut en moyenne attendre le dixième tirage (soit 1 / 0,1) pour observer un premier succès. Ce qui est moins évident, c'est que si le succès n'est pas comptabilisé, alors E(X) = q / p.

Quant à la variance, elle est la même dans les deux cas :

variance

Loi géométrique tronquée : on peut se donner un nombre d’épreuves à ne pas dépasser : X = 0 si aucun succès n’est observé.

Exercice théorique

Démontrer la formule de la fonction de répartition.

Corrigé

Réécrivons P(X ≤ k). La loi géométrique étant discrète, k ne peut être qu’un entier naturel. Donc :

somme

Remplaçons la probabilité par son expression, qui est la définition-même de la loi géométrique…

remplacement

Nous constatons que la somme est celle d’une suite géométrique. Mais il n’est pas pratique de commencer par i = 1. En effet, si i = 0, le premier terme est connu puisqu’il s’agit d’un nombre à la puissance zéro. Pour être clair, c’est 1.

somme des termes d'une suite géométrique

L’œuvre est presque achevée. Comme 1 – q = p, on simplifie l’écriture et il nous reste bien 1 – qk.

résultat

 

loi géométrique

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés