Exercice sur loi géométrique
La loi géométrique est une loi de probabilité simple à comprendre et à utiliser (ouf !). Elle décrit la situation d’une répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes qu’il est nécessaire d’observer avant d’obtenir un succès. Il existe une autre loi très proche pour trouver le nombre d’essais avant d’avoir n succès et c’est la loi de Pascal.
Loi « sans mémoire », elle est la version discrète de la loi exponentielle. Si elle ne figure pas explicitement dans un programme de lycée, elle peut tout à fait se glisser sans dire son nom dans un exercice de première générale, le bagage théorique de ce niveau d’étude étant suffisant pour utiliser cette loi dans des situations simples. Elle peut aussi apparaître en terminale, maths complémentaires.
Rappel
Soit \(p\) la probabilité de succès et \(q = 1 - p\) la probabilité d’échec. Il est assez évident que la probabilité d’obtenir un premier succès à la énième épreuve est égale à \(pq^{n-1}.\) Les plus sceptiques s’en convaincront en dessinant un arbre de probabilités.
\(P(X = n) = pq^{n-1}\)
La variable aléatoire \(X\) peut prendre n’importe quelle valeur entière supérieure ou égale à 1. Soit \(F(n)\) la fonction de répartition. Elle représente la probabilité de réaliser au plus \(n\) tirages pour obtenir le premier succès....
\(F(n)\) \(=\) \(P(X \leqslant n)\) \(=\) \(1 - q^n\)
Exercice
Un photographe animalier se poste là où un chat sauvage passe parfois à l'aube, de façon totalement aléatoire. L'un de ses collègues lui a affirmé qu'au cours des deux mois précédents le félin était passé six fois et il en a conclu que la probabilité d'apparition du chat un matin donné s'établissait à 0,1.
Notre photographe ne peut consacrer que cinq jours à cet affût mais il partira avant s'il a pu photographier le chat. Selon les services de la météo, il pleuvra le deuxième jour. Sinon, il fera beau temps.
- Quelle est la probabilité de photographier le chat sous la pluie ?
- Quelle est la probabilité de photographier le chat au cours de ces cinq jours ?
Corrigé
La situation peut être modélisée par une loi géométrique avec une probabilité de succès égale à 0,1. En effet, les passages du chat s'apparentent à une suite d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes et la variable aléatoire \(X\) est le nombre de jours nécessaires pour photographier le chat.
Question 1. Nous cherchons la probabilité que la première apparition du chat ait lieu le deuxième jour. Donc \(P(X = 2).\)
\(P(X = 2)\) \(=\) \(pq\) \(=\) \(0,1 × 0,9\) \(=\) \(0,09.\)
Retrouvons ce résultat avec une calculatrice TI-83 Premium CE. Bien sûr, au vu de la facilité des calculs de cet exercice, la calculatrice n'est vraiment pas indispensable !
Touche distrib (2nde + Var). Choix F
Sur la fenêtre qui apparaît, on entre la probabilité de succès et la valeur de la variable aléatoire.
Entrer (trois fois). On obtient bien une probabilité de 0,09.
Question 2. Nous cherchons la probabilité que la première apparition du chat ait lieu au cours des cinq premiers jours, soit \(P(X \leqslant 5).\)
\(P(X \leqslant 5)\) \(=\) \(1 - 0,9^5\) \(=\) \(0,40951.\)
Cette fois-ci il faut choisir G avec la calculatrice TI.
