Loi exponentielle : définition et exemple
Au menu du jour, nous vous proposons une loi de probabilité indispensable pour quelques applications bien précises. La loi exponentielle est surtout utilisée dans les problématiques de « durée de vie ». Inutile toutefois d’examiner la paume de votre main pour vérifier si votre ligne de vie ressemble à une fonction de répartition de loi exponentielle : on modélise surtout la vie des circuits électroniques. Mais une durée « de vie » ne peut être qu’une durée d’attente et c'est pourquoi la loi exponentielle intervient dans les processus poissonniens.
Présentation
Sa fonction de densité se présente ainsi. Soit \(\lambda > 0\) :
\(\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \rm{\;si\;} x < 0}\\ {\lambda e^{-\lambda x} \rm{\;si\;} x \geqslant 0} \end{array}} \right.}\)
Pour la démonstration qu'il s'agit bien d'une fonction de densité, voir le troisième exercice sur la densité.
Elle est très simple à intégrer et l'on détermine la fonction de répartition suivante :
\(\displaystyle{F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \rm{\;si\;} x < 0}\\ {1 - e^{-\lambda x} \rm{\;si\;} x \geqslant 0} \end{array}} \right.}\)
Son espérance et ses paramètres de dispersion s’établissent comme suit : \(E(X)\) \(=\) \(\sigma(X)\) \(=\) \(\frac{1}{\lambda}\) et \(V(X)\) \(=\) \(\frac{1}{\lambda^2}\)
Enfin, la médiane est égale à l’espérance multipliée par le logarithme de 2.
Cette loi ne dépend donc que d’un seul paramètre, à l’image de la loi de Poisson. C'est l'ordonnée à l'origine de la courbe de densité de probabilité. S'il est égal à 1, on parle de loi exponentielle standard.
Le paramètre lambda peut représenter le nombre de fois qu’un évènement survienne durant un laps de temps donné.
La somme de plusieurs variables aléatoires (v.a) de même paramètre suit une loi gamma (dont la loi exponentielle n'est qu'un cas particulier)..
La courbe représentative de la fonction de densité apparaît ainsi, \(λ\) étant l’ordonnée à l’origine (ici, 0,9). Réalisation sur Sine qua non :
En pratique, on s’intéresse surtout à des probabilités d’être atteintes ou dépassées. C’est alors la fonction de répartition qui nous importe (voir exemple ci-dessous).
Amnésie
La distribution exponentielle est dite « sans mémoire », ou sans vieillissement. À ce titre, elle est l’équivalent de la loi géométrique mais pour les distributions continues.
L’absence de mémoire se traduit par le fait qu’un phénomène a autant de chances de se produire sur un laps de temps donné après l’instant \(t\) qu’après l’instant \(h.\) La probabilité qu’il survienne aujourd’hui sachant qu’on l’attend depuis un siècle est la même que si on l’attendait depuis un jour.
Formellement, on le résume ainsi (propriété de Markov) :
Si \(X \leadsto \varepsilon (\lambda),\) alors \(P(X > h + \frac{t}{X} > h)\) \(=\) \(P(X > t).\)
Non seulement cette propriété se vérifie si l’instant \(h\) est fixe, mais aussi s’il s’agit d’une v.a distribuée elle aussi selon une loi exponentielle. On peut donc également écrire :
Si \(X' \leadsto \varepsilon (\lambda),\) alors \(P(X' > X + \frac{t}{X'} > X)\) \(=\) \(P(X' > t).\)
Un exemple détaillé devrait vous aider à comprendre le mécanisme.
Exemple
La durée de vie d’un matériel électronique suit une loi exponentielle de paramètre \(λ = \frac{1}{10}\) (l’unité de temps est l’année). Quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore 5 ans après sa fabrication ?
Trouvons le résultat de plusieurs manières.
D’abord, la formule (fonction de répartition puisqu’on cherche un cumul).
\(P(X > 5)\) \(=\) \(1 - F(X)\) \(=\) \(1- [1 - \exp(-\frac{1}{10} × 5)]\) \(=\) \(e^{-0,5}\) \(\approx\) \(0,6065.\)
Même recherche mais avec Excel :
=1-LOI.EXPONENTIELLE(5;0,1;VRAI), et la cellule s’emplit d’un superbe 0,6065. Le VRAI signifie qu’on demande un cumul. Sur OpenOffice, on le remplace par 1, le reste de la formule étant identique.
Pour terminer, observons la représentation graphique de la fonction de répartition. Sur la courbe représentant la fonction d’équation \(y = 1 - e^{-0,1x},\) on voit que si \(x = 5,\) la probabilité que le matériel ne fonctionne pas est d’environ 0,4. On remarque d’ailleurs très bien que cinq ans plus tard, on a toujours cette proportion d’environ \(40\%,\) cette fois entre l’horizontale violette et le « plafond ».
Il est bien évident que les résultats auraient été les mêmes si, au lieu de préciser dans l'énoncé « cinq ans après sa fabrication », nous avions écrit « cinq ans à compter d'un jour quelconque ».
Mais encore...
Besoin d'un petit complément ? Rendez-vous en pages exercices sur la loi exponentielle et propriétés de la loi exponentielle, adaptées à la terminale générale, et faire l'exercice partie C de la page sur les lois à densité au bac S. Besoin de comprendre pourquoi l'espérance de cette loi est ce qu'elle est ? Visitez la page exemples d'intégration par parties sur intégrales généralisées. Enfin, la preuve que l'inverse de la moyenne, telle que relevée dans un échantillon aléatoire, est le meilleur estimateur du paramètre λ sur une population figure en page démonstrations de maximums de vraisemblance.
