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(et fondements mathématiques)

La loi exponentielle

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Loi exponentielle : définition et exemple

Au menu du jour, nous vous proposons une loi de probabilité indispensable pour quelques applications bien précises. La loi exponentielle est surtout utilisée dans les problématiques de « durée de vie ». Inutile toutefois d’examiner la paume de votre main pour vérifier si votre ligne de vie ressemble à une fonction de répartition de loi exponentielle : on modélise surtout la vie des circuits électroniques. Mais une durée « de vie » ne peut être qu’une durée d’attente et c'est pourquoi la loi exponentielle intervient dans les processus poissonniens.

Sa fonction de densité se présente sous cette forme :

fonction de densité

Elle est très simple à intégrer et l'on détermine la fonction de répartition suivante :

fonction de répartition

Son espérance et ses paramètres de dispersion s’établissent comme suit :

paramètres

Enfin, la médiane est égale à l’espérance multipliée par le logarithme de 2.

Cette loi ne dépend donc que d’un seul paramètre, à l’image de la loi de Poisson. C'est l'ordonnée à l'origine de la courbe de densité de probabilité. S'il est égal à 1, on parle de loi exponentielle standard.

Le paramètre lambda peut représenter le nombre de fois qu’un évènement survienne durant un laps de temps donné.

La somme de plusieurs variables aléatoires (v.a) de même paramètre suit une loi gamma (dont la loi exponentielle n'est qu'un cas particulier)..

La courbe représentative de la fonction de densité apparaît ainsi, λ étant l’ordonnée à l’origine (ici, 0,9). Réalisation sur Sine qua non :

courbe de la fonction de densité

En pratique, on s’intéresse surtout à des probabilités d’être atteintes ou dépassées. C’est alors la fonction de répartition qui nous importe (voir exemple ci-dessous).

Amnésie

La distribution exponentielle est dite « sans mémoire », ou sans vieillissement. À ce titre, elle est l’équivalent de la loi géométrique mais pour les distributions continues.

L’absence de mémoire se traduit par le fait qu’un phénomène a autant de chances de se produire sur un laps de temps donné après l’instant t qu’après l’instant h. La probabilité qu’il survienne aujourd’hui sachant qu’on l’attend depuis un siècle est la même que si on l’attendait depuis un jour.

Formellement, on le résume ainsi (propriété de Markov) :

propriété de Markov

Non seulement cette propriété se vérifie si  l’instant h est fixe, mais aussi s’il s’agit d’une v.a distribuée elle aussi selon une loi exponentielle. On peut donc également écrire :

propriété de Markov avec VA

Un exemple détaillé devrait permettre de bien comprendre le mécanisme.

Exemple

La durée de vie d’un matériel électronique suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1 / 10 (l’unité de temps est l’année). Quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore 5 ans après sa fabrication ?

Trouvons le résultat de plusieurs manières.

D’abord, la formule (fonction de répartition puisqu’on cherche un cumul).

P(X > 5) = 1 – F(X) = 1 – [1 – exp(-1 / 10 × 5)] = e-0,5 = 0,6065.

Deuxième façon, en utilisant Excel :

=1-LOI.EXPONENTIELLE(5;0,1;VRAI), et la cellule s’emplit d’un superbe 0,6065. Le VRAI signifie qu’on demande un cumul. Sur OpenOffice, on le remplace par 1, le reste de la formule étant identique.

Pour terminer, observons la représentation graphique de la fonction de répartition. Sur la courbe représentant la fonction d’équation y = 1 – exp(-0,1x), on voit que si x = 5, la probabilité que le matériel ne fonctionne pas est d’environ 0,4. On remarque d’ailleurs très bien que cinq ans plus tard, on a toujours cette proportion d’environ 40 %, cette fois entre l’horizontale violette et le « plafond ».

fonction de répartition

Il est bien évident que les résultats auraient été les mêmes si, au lieu de préciser dans l'énoncé « cinq ans après sa fabrication », j'avais écrit « cinq ans à compter d'un jour quelconque ».

Besoin d'un petit complément ? Rendez-vous en page exercices sur la loi exponentielle. Besoin de comprendre pourquoi l'espérance de cette loi est ce qu'elle est ? Visitez la page exemples d'intégration par parties sur intégrales généralisées. Enfin, la preuve que l'inverse de la moyenne, telle que relevée dans un échantillon aléatoire, est le meilleur estimateur du paramètre λ sur une population figure en page démonstrations de maximums de vraisemblance.

 

sorcière statisticienne

 

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