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(et fondements mathématiques)

La loi de Student-Fisher

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Densité et moments de la loi de Student

Student était le pseudo de William Sealy Gosset, statisticien de la brasserie Guiness, décédé en 1937, qui nous a légué de bien précieux outils. En particulier une loi de probabilité, dite loi t de Student, également connue sous le nom de loi de Student-Fisher.

Soit une variable aléatoire (v.a) définie comme le rapport entre une v.a Z qui suit la loi normale centrée réduite et la racine carrée d’une autre v.a Xn, indépendante de la première, qui suit une loi du khi² à n degrés de liberté (ddl) divisée par n. Cette v.a est notée de façon différente selon les auteurs : T, ST, ST(n)… Notons-la Tn.

Formellement…

T

Cette v.a suit une loi de Student à n ddl.

Expression de la fonction de densité

La fonction de densité de cette loi, définie sur R et continue, a une expression algébrique si compliquée qu'au fil de vos lectures vous en trouverez des formulations variables.

Le plus souvent, elle est définie à l'aide de la fonction gamma

fonction de densité

Pour n = 1, cette distribution est celle de Cauchy. Lorsque n tend vers l’infini, la v.a de Student converge en loi vers une v.a normale centrée réduite.

Moments

L’espérance de T est nulle. E(T) = 0 si n > 1.

Variance

Pour tout n entier > 2 :

var(T)=n/(n-2)

Asymétrie

La fonction de densité de probabilité est paire. Le coefficient d’asymétrie est donc nul.

Aplatissement

Pour n > 4 :

kurtosis

Représentations graphiques

Ci-dessous figurent trois représentations graphiques de la fonction de densité de la loi de Student, réalisées avec le logiciel libre Gretl.

La première courbe représente le cas où n = 1. Donc, la loi de Cauchy. Elle est relativement aplatie et les queues de distribution sont épaisses.

n=1

Pour la courbe suivante, n = 10. Il n’existe plus cette dispersion importante observée sur la configuration précédente.

n=10

Enfin, la courbe pour laquelle n = 30. Elle est un peu plus resserrée et très proche de la courbe représentant la fonction de densité de la loi normale centrée réduite.

n=30

C’est pourquoi, en pratique, la loi de Student n’est employée que sur de petits échantillons (moins d’une trentaine d’unités statistiques). Au-delà, on utilise la loi normale.

Voir aussi la page sur les utilisations de la loi de Student et la table du t de Student.

 

 

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