Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La date du point mort

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Seuil de rentabilité dans les activités saisonnières

Le challenge du jour consiste à connaître le jour de l’année à partir duquel l’entreprise génère un bénéfice. En d’autres termes, nous allons exprimer le seuil de rentabilité en nombre de jours de chiffre d’affaires, ce qui donne une idée du risque d'exploitation.

Examinons d’abord le cas plutôt rare d’un chiffre d’affaires (CA) parfaitement constant au cours de l’année. Je compliquerai ensuite.

Activité sans saisonnalité

Une petite entreprise produit et vend des biscuits artisanaux. Bon an mal an, le CA mensuel tourne autour de 30 000 euros. Les charges fixes s’élèvent à 240 000 euros par an. Les coûts variables, qui comprennent surtout les ingrédients, l’électricité et les emballages, s’établissent annuellement à 90 000 euros. À quel moment de l’année se situe le point mort ?

Fin du suspense : sur l’année, la marge sur coût variable est de (30 K€ × 12) – 90 K€, soit 270 K€. On obtient donc un prorata de 240 / 270 = 88,9 %. On l’applique à une année de 365 jours et l’on obtient le 324e jour de l’année. Soit le 20 novembre.

Classique règle de trois.

Si vous préférez une formulation plus mathématique, nous sommes en présence d’une fonction linéaire représentative de la marge sur coût variable, définie sur l’intervalle ]0 ; 365] et de coefficient directeur 270 / 365 = 0,74. Sa droite représentative croise la droite des charges fixes d’équation y = 240 au point d’abscisse x qui vérifie 0,74 x = 240, soit 324,4. Ce fameux 20 novembre…

Passons aux choses sérieuses.

Activité avec saisonnalité

Un volume de ventes se présente ainsi (en hectolitres) :

data

Pour ne pas alourdir l’étude, on ne calculera pas le seuil de rentabilité. On suppose qu’il s’établit à 260 K€. Sachant que le prix de vente unitaire est de 400 euros, majoré de 5 % en juillet et août, à quelle date le point mort devrait-il être atteint au cours de l’année + 1 ?

La première partie de l’étude consiste à estimer les ventes de l’année n + 1. Bien que située en amont de la problématique qui nous préoccupe, la prévision est généreusement détaillée ci-dessous.

Graphiquement, la série chronologique ressemble à ceci (donnée brutes en bleu, graphique Excel).

aperçu graphique

C’est le rang des mois qui est porté en abscisse (de 1 à 48). Un lissage par moyennes mobiles sur 12 mois est d’abord réalisé (en rouge), puis un ajustement logarithmique qui semble bien approprié est calculé sur la base des MM (il figure en vert). L’équation apparaît sur le graphique. Notez qu’il aurait été moins rigoureux de réaliser l’ajustement directement sur les données (voir pourquoi en page ajustement sur moyennes annuelles), mais l’équation de la tendance n’aurait pas été très différente.

Considérons que la saisonnalité s’inscrit dans un schéma de décomposition additif.

Les tableaux de Buys-Ballot apparaissent ainsi (voir la procédure en page désaisonalisation) :

buys-ballot

Les prévisions de chiffre d’affaires peuvent donc être établies.

tableau du CA

Dans cet exemple, au lieu de procéder à une interpolation sur l’année complète nous l'appliquons sur le seul mois d’octobre puisque le seuil de rentabilité de 260 K€ est atteint au cours de ce mois.

interpolation

On trouve x = 4,8. C’est donc le 5 octobre que le point mort devrait être atteint.

 

point mort

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés