Le cerf-volant

Cerf-volant convexe

Le cerf-volant est une figure qui peut apparaître dans un exercice de maths du secondaire, bien qu'il ne soit pas mentionné dans les programmes. Son nom est évidemment dû au jouet dans sa forme traditionnelle (armature en croix). Mais bien sûr, vous pouvez aussi jouer avec la figure géométrique. C’est ce que nous vous proposons de faire ici, après un rappel théorique. Bon amusement...

Définition

Le cerf-volant est un quadrilatère qui possède deux paires de côtés consécutifs égaux.

cerf-volant

Propriétés

Les diagonales sont perpendiculaires (voir figure ci-dessus).

L’une d’elles est un axe de symétrie. Elle est aussi médiatrice de l’autre diagonale et bissectrice de deux angles opposés.

Les angles opposés situés aux extrémités de l’autre diagonale sont égaux.

Donc, pour prouver qu’un quadrilatère est un cerf-volant, vous pouvez montrer soit que deux paires de côtés consécutifs sont égales, soit plus fréquemment qu’une diagonale est la médiatrice de l’autre. D'ailleurs, si dans un exercice vous devez démontrer qu'une figure est un cerf-volant, commencez par tracer les diagonales !

Aire

L’aire d’un cerf-volant s’obtient en multipliant la longueur d’une diagonale avec la longueur de l’autre (on obtient alors l’aire du rectangle dans lequel le cerf-volant est inscrit) et on divise ce produit par 2. C’est donc la même formule que celle de l’aire d’un losange.

D'ailleurs un losange est un quadrilatère qui est à la fois un cerf-volant et un parallélogramme.

On visualise facilement le calcul d'aire ci-dessous.

cerf-volant

Le rectangle est divisé en quatre parties par les diagonales du cerf-volant (qui sont donc sa longueur et sa largeur). Dans chacun des quatre quartiers, l’aire en bleu qui appartient au cerf-volant est égale à l’aire en jaune qui ne lui appartient pas.

Exercice

Calculer l’aire du cerf-volant ABCD ci-dessous, connaissant les longueurs suivantes :

AB = 3 racine 2 et BC = 5

cerf-volant ABCD

Les diagonales se croisent en M.

Corrigé

On sait que ABCD est un cerf-volant et que les diagonales AC et BD se croisent en M. Or, AC est la médiatrice de BD. Donc ABM et ADM sont des triangles rectangles isocèles en M et ils sont égaux.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, nous pouvons écrire :

AB² = 2 AM²
3AM² = (3 racine 2)²
2AM² = 18
AM² = 9

Comme AM > 0 nous obtenons AMBM = 3

Ainsi la diagonale BD mesure 2 × 3 = 6.

Soit le triangle BMC. On sait que AC est la médiatrice de BD. Donc BMC est rectangle en M. On sait aussi que BM = 3.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, nous avons : BC² = BM² + MC².

Par conséquent…

25² = 3² + MC²
⇔  MC² = 16

MC étant positif, nous obtenons MC = 4.

Comme AM = 3 et que A, M et C sont alignés, AC = 7.

L’aire du cerf-volant ABCD est donc égale à la moitié de AC × BD, donc de la moitié de 6 × 7 = 42, c’est-à-dire 21 unités d’aire.

 

cerf