Exercice sur une famille de paraboles
En première générale, vous pouvez rencontrer un exercice sur les familles de droites (bien que cette expression ne soit pas nécessairement employée). Vous pouvez aussi, mais c’est moins sûr, rencontrer des familles de paraboles. L’occasion de réaliser de très esthétiques figures…
L'exercice ci-dessous peut être l'occasion d'un bon entraînement... ou d'un devoir maison.
Énoncé
- Justifier que pour tout réel \(m\) l’équation suivante est celle d’une parabole
\(y = 2x^2 + 2mx - 3m + 1\)
Nous nommerons \(\mathscr{P}_m\) les paraboles qui satisfont à cette équation.
- Pourquoi toutes les paraboles \(\mathscr{P}_m\) ont-elles un point commun dans le plan ?
- Déterminer les coordonnées de ce point.
- Déterminer l’équation de la parabole dont le sommet est ce point.
- Tracer avec un logiciel ou une calculatrice les paraboles pour toutes les valeurs entières de \(m\) entre -6 et 0 (on se passera de les nommer)
- Vérifier que les sommets de toutes les paraboles \(\mathscr{P}_m\) se trouvent sur une même parabole \(\mathscr{P}\) dont on donnera l’équation ainsi que les coordonnées de son sommet.
- Tracer \(\mathscr{P}.\)
Corrigé
1- L’équation est sous la forme \(y = ax^2 + bx + c\) avec \(a ≠ 0.\) Il s’agit bien d’une parabole, quel que soit \(m.\)
2- Réécrivons l’équation de \(\mathscr{P}_m\) :
\(y = 2x^2 + m(2x - 3) + 1\)
Et là, on constate qu’il existe une valeur de \(x\) pour laquelle \(y\) ne dépend que de \(x\) et non de \(m.\)
Donc, quel que soit \(m\), les coordonnées de ce point vérifient l’équation.
3- On pose \(2x - 3 = 0.\) Il reste alors à résoudre \(y = 2x^2 + 1.\)
La première équation a pour solution \(x = \frac{3}{2}.\)
La seconde nous amène à cette belle découverte : \(y = 5,5.\) Les coordonnées du point commun à cette famille de paraboles sont \((1,5\, ;5,5).\)
4- La parabole cherchée doit avoir un sommet en \(x = 1,5.\)
Rappelons que l’abscisse du sommet d’une parabole qui s’écrit \(y = ax^2 + bx + c\) est \(-\frac{b}{2a}.\)
Ici, \(b = 2m\) et \(a = 2.\)
Et \(-\frac{2m}{2 × 2} = - \frac{m}{2}.\)
Donc \( - \frac{m}{2} = 1,5,\) d’où \(m = -3.\)
En remplaçant \(m\) par \(-3,\) nous obtenons l’équation de \(\mathscr{P}_{-3},\) soit \(y = 2x^2 -6x + 10\)
5- \(m = -6\) : \(y = 2x^2 -12x +19\)
\(m = -5\) : \(y = 2x^2 -10x +16\)
\(m = -4\) : \(y = 2x^2 - 8x + 13\)
\(m = -3\) : \(y = 2x^2 - 6x + 10\)
\(m = -2\) : \(y = 2x^2 - 4x + 7\)
\(m = -1\) : \(y = 2x^2 - 2x + 4\)
\(m = 0\) : \(y = 2x^2 + 1\)
Avec GeoGebra…
6- Expression de \(\mathscr{P}\)
Nous savons qu’aux sommets \(x = -\frac{m}{2}.\) Donc \(m = - 2x.\)
Remplaçons \(m\) par \(-2x\) dans notre parabole paramétrée.
\(y = 2x^2 + 2(-2x)x - 3(-2x) + 1\)
\(⇔ y = 2x^2 - 4x^2 + 6x + 1\)
\(⇔ y = -2x^2 + 6x +1\)
C’est l’équation de \(\mathscr{P}.\) Où se trouve son sommet ?
Là encore, l’abscisse du sommet se trouve avec la vieille formule \(-\frac{b}{2a},\) en l’occurrence \(-\frac{6}{-4} = 1,5.\)
L’ordonnée est \(y = -2 × 1,5^2 + 6 × 1,5 + 1\) c’est-à-dire 5,5.
Miracle, nous retrouvons le point de réunion familiale !
7- Faisons apparaître ces merveilleuses propriétés…
