Paires et divisions d'angles
Vous connaissez les angles. Enchanté d’avoir fait leur connaissance, vous souhaitez les retrouver à plusieurs. D’ailleurs, vous aurez beaucoup plus d’occasions de vous amuser s’ils sont deux. Ou plus.
Angles adjacents
Deux angles sont adjacents lorsqu’ils ont en commun un côté et leur sommet. Ils forment alors un angle dont la mesure est la somme de celles des deux angles adjacents (exercice en page de relation de Chasles).
Angles complémentaires et supplémentaires
Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90° et supplémentaires lorsque cette somme est égale à 180°. Ils ne sont pas nécessairement adjacents.
Deux angles droits sont donc supplémentaires.
Comme la somme des angles d’un triangle vaut 180°, un triangle rectangle possède un angle droit et deux angles complémentaires.
Les trois angles d’un triangle quelconque sont supplémentaires.
Lorsqu'un quadrilatère convexe s'inscrit dans un cercle, ses angles opposés sont supplémentaires.
Angles opposés par le sommet
Lorsque deux angles ont un même sommet mais que les côtés de l’un se prolongent pour être les côtés de l’autre, on dit qu’ils sont opposés par le sommet (ou verticaux). Ils ont alors la même mesure (ci-dessous, construction avec GeoGebra).
\(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\)
Bien sûr, nous avons également \(\widehat {DAB} = \widehat {EAC}\)
Angles alternes-internes
Soit deux droites \((d)\) et \((d')\) et une droite \((d'')\) qui coupe \((d)\) et \((d')\) en deux points \(A\) et \(B.\) Deux angles alternes-internes ont pour sommets \(A\) et \(B,\) se situent entre \((d)\) et \((d')\) et de part et d’autre de \((d'').\)
Si \((d)\) et \((d')\) sont parallèles, alors ces angles ont même mesure. Réciproquement, s’ils ont même mesure, cela signifie que \((d)\) et \((d')\) sont parallèles. Si ces angles sont droits, alors \((d'')\) est perpendiculaire à \((d)\) et à \((d').\)
Illustration avec \((d)\) et \((d')\) parallèles et \((d'')\) non perpendiculaire :
Les angles internes d’un même côté sont supplémentaires.
Angles alternes-externes
Même principe mais les angles sont situés à l’extérieur du couloir formé par \((d)\) et \((d').\) Là encore, les angles sont égaux.
Partage d’angle
Une demi-droite qui coupe un angle en deux angles égaux est une bissectrice de l’angle. Sa construction peut se faire très simplement avec une règle et un compas.
Une trisection consiste à construire deux demi-droites pour couper un angle en trois angles égaux. Dans l’Antiquité grecque, la réalisation d’une trisection d’angle à la règle et au compas était l’un des trois grands problèmes de géométrie sur lesquels les mathématiciens s’arrachaient les cheveux. Il fallut attendre 1837 pour que le Français Pierre-Laurent Wantzel démontre l’impossibilité de l’opération. Donc pour une trisection, il vous faut un rapporteur ! Ou, comme ci-dessous, GeoGebra…
