Matrices et binôme de Newton

Matrices puissance n et binôme

Niveau de cette page : terminale S spé maths.

Le binôme de Newton est décidément un outil extraordinaire. Il peut même nous aider à élever certaines matrices à une puissance \(n\). Vous en doutez ? Lisez plutôt.

 

Matrices à la puissance \(n\)

Sans l’aide quasi incontournable d’un outil informatique, il est très laborieux d’élever une matrice carrée à une certaine puissance. Bien sûr, cela dépend de l’ordre de la matrice et de la puissance. Le principe est celui de la multiplication de matrices.

Si par exemple on souhaite élever la matrice \(M\) à la puissance 3, on calcule \(M\times M\) pour obtenir \({M^2}\) puis \({M^2} \times M\) pour obtenir \({M^3}\). Le travail devient vite lassant.

 

Matrices diagonales

Une matrice diagonale ne possède que des zéros, excepté sur sa diagonale. Par exemple :

\[M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,5}&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&2 \end{array}} \right)\]

L’avantage d’une telle configuration, c’est qu’il suffit d’élever chaque coefficient de la matrice à la puissance \(n\) pour obtenir \({M^n}\).

Ainsi…

\[{M^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,25}&0&0\\
0&9&0\\
0&0&4
\end{array}} \right)\]

Il est donc intéressant de faire apparaître une matrice diagonale pour simplifier les calculs. Pour cela, il faut que la matrice sur laquelle on souhaite travailler soit diagonalisable.

Et pour que notre matrice \(M\) le soit, il faut qu’il existe une matrice \(P\) telle que \(M = PD{P^{ - 1}}\), avec \(D\) matrice diagonalisable (évidemment, ces quatre matrices sont du même ordre).

 

Commutativité

Le produit de matrices ne possède pas la propriété de commutativité. Toutefois, il arrive que \(A \times B = B \times A\) (avec \(A\) et \(B\) deux matrices carrées de même ordre). On dit alors qu’elles commutent.

Dans ce cas, l’identité remarquable fonctionne : \({(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\). Elle fonctionne aussi pour les puissances supérieures selon la formule du binôme de Newton.

\[{(A + B)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right){A^{n - k}}{B^k}} \]

La démonstration est assez longue. Elle utilise la récurrence.

Notez au passage que si les matrices ne commutent pas, l'identité remarquable devient \({(A + B)^2} = {A^2} + AB + BA + {B^2}\).

 

Exemple

Soit la matrice \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0\\ 5&3 \end{array}} \right)\) et soit \(n\) un entier. Nous allons déterminer une expression de \({A^n}\).

Première étape. Démontrons que \(A\) peut s’écrire \(3{I_2} + B\), avec \(I\) matrice unité et \(B\) à déterminer.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0\\ 5&3 \end{array}} \right) = 3\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right) + B\)

\( \Leftrightarrow B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0\\ 5&3 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0\\ 0&3 \end{array}} \right)\)

\( \Leftrightarrow B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 5&0 \end{array}} \right)\)

Deuxième étape. Montrons que \(B\) est nulle pour \(n \ge 2\).

\({B^2} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 5&0 \end{array}} \right)^2}\)

Toute puissance de \(B\) supérieure à 2 pourra donc se présenter comme un produit de matrices dont l’une est nulle. Il s’ensuit que \({B^n} = 0\) pour \(n \ge 2\).

Troisième étape. Nous savons que, par propriété, \(A \times I = I \times A = A\) et même que, pour tout entier \(m\), \(A \times mI = mI \times A = mA\).

Comme \({I_2}\) et \(A\) commutent, on peut recourir à la formule du binôme.

\({A^n} = {(3{I_2} + B)^n}\)

\( \Leftrightarrow {A^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right){{\left( {3{I_2}} \right)}^{n - k}}{B^k}} \)

Or \({B^k} = 0\) pour \(k \ge 2\). La somme se limite donc aux deux premiers termes.

\({A^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 0 \end{array}} \right){\left( {3{I_2}} \right)^n}{B^0} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ 1 \end{array}} \right){\left( {3{I_2}} \right)^{n - 1}}{B^1}\)

\( \Leftrightarrow {A^n} = 1 \times {3^n}{I_2} \times {I_2} + n \times {3^{n - 1}}{I_2} \times B\)

\( \Leftrightarrow {A^n} = {3^n}{I_2} + n \times {3^{n - 1}} \times B\)

\( \Leftrightarrow {A^n} = {3^n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right) + n{3^{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
5&0
\end{array}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {A^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{3^n}}&0\\ {5n \times {3^{n - 1}}}&{{3^n}} \end{array}} \right)\)

Dernière étape, facultative. Vérifions pour \(n = 4\).

Par le calcul :

\({A^4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{3^4}}&0\\ {20 \times {3^3}}&{{3^4}} \end{array}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {A^4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {81}&0\\ {540}&{81} \end{array}} \right)\)

Avec la calculatrice TI-83 :

TI-83

Merveilleux.

 

Nilpotence

Une matrice \(M\) est nilpotente lorsqu’il existe un entier \(n \ge 1\) tel que \({M^n}\) est la matrice nulle (ce terme n’est pas exigible au programme de terminale S). Dans l’exemple ci-dessus, \(B\) est nilpotente.