Des démonstrations de trigonométrie

Démonstrations de valeurs trigonométriques

Dans le programme de trigonométrie de première générale, vous ne trouverez pas moins de trois démonstrations à ingurgiter. Si ça vous paraît trop copieux pour être digéré, cette page devrait avoir l’effet d’une tisane bienfaisante…

$\cos(\frac{\pi}{4})$

Nous allons montrer de deux façons que $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

D’abord, de façon géométrique.

Partons d’un carré de côté 1. Selon le théorème de Pythagore, la diagonale mesure $\sqrt{2}.$ En effet, le carré forme deux triangles rectangles isocèles et sa diagonale est leur hypoténuse. Donc sa mesure est la racine carrée de $1^2 + 1^2.$

L’angle formé par cette diagonale est de 45°. Si vous connaissez le cercle trigonométrique, vous savez que cela correspond à $\frac{\pi}{4}$ radians.

Cela étant rappelé, à quoi peut bien être égal à $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ? Vous vous souvenez bien sûr de la formule du cosinus :

$${\rm{cosinus = }}\frac{{{\rm{côté\; adjacent}}}}{{{\rm{hypoténuse}}}}$$

Donc, $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$ Comme on évite de laisser un radical au dénominateur, écrivons $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $= \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$ $= \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Remarquez que $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ est aussi égal à $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Autre démonstration : on utilise la formule ${\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1$ vue en seconde.

Donc, cas particulier : ${\cos ^2}\left(\frac{\pi}{4}\right) + {\sin ^2}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1.$

On sait que $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ (voir le carré ci-dessus).

Donc $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$\Leftrightarrow \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2} = 0$

Factorisons (identité remarquable)

$\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{\frac{1}{2}}\right) \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{\frac{1}{2}}\right) = 0$

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.

$\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{\frac{1}{2}}\right) = 0$ ou $\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{\frac{1}{2}}\right) = 0$
$\Leftrightarrow\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{\frac{1}{2}}$ ou $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Comme $\frac{\pi}{4} \in [0\,; \frac{\pi}{2}],$ on sait que son cosinus est positif (Cf. le cercle) donc la seconde solution ne convient pas.

Par propriété, $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Comme nous avons vu plus haut que $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nous avons démontré que $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (youpi).

$\cos(\frac{\pi}{3})$

Montrons à présent que $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}.$ L’approche sera différente des deux démonstrations précédentes.

Rappelons que l’angle plat est égal à $\pi$ (soit 180°). Vous avez appris au collège que la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Chaque angle d’un triangle équilatéral est donc égal à $\frac{\pi}{3}$ radians.

Nous cherchons donc le cosinus d’un angle de triangle équilatéral.

Soit un triangle équilatéral $ABC$ de côté 1 et soit $D$ le pied de la médiane issue de $C$ (la médiane étant aussi la hauteur puisque le triangle est équilatéral).

Si $AC$ est le rayon du cercle trigonométrique de centre $A,$ alors $B$ appartient au cercle. La figure ci-dessous montre bien que le cosinus de $\frac{\pi}{3}$ est $\frac{1}{2}.$

$\sin(\frac{\pi}{3})$

Et le sinus dans tout çà ?

On peut là encore le trouver de plusieurs façons : côté opposé sur hypoténuse, formule vue en seconde… Mais après tout, pourquoi pas ce bon vieux théorème de Pythagore ? Le triangle $ACD$ est rectangle en $D.$ Or, nous savons que $AC = 1$ et $AD = 0,5.$ Nous cherchons $CD.$

$CD^2 = 1^2 - 0,5^2$
$\Leftrightarrow CD^2 = 0,75 = \frac{3}{4}$

Donc $CD = \sqrt{\frac{3}{4}}$ (et pas $-\sqrt{\frac{3}{4}}$ puisqu’une distance est positive).

Soit $CD = \frac{\sqrt{3}}{2}.$  Ainsi, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$