Des exercices sur ensembles numériques

Exercices sur ensembles de nombres

Cette page vous propose quelques exercices sur les ensembles numériques, de niveau seconde. Ils sont truffés de pièges. À vous de les déjouer !

Rappel

Rappelons brièvement ce que vous avez vu en cours. Tous les nombres auxquels un élève de seconde, de première générale et de première tehnologique ont affaire sont des réels.

Ils sont représentés par l’espèce de flaque ci-dessous (en fait, ça ne s’appelle pas une flaque mais un diagramme de Venn).

Les réels se décomposent en deux catégories : les rationnels (en bleu) et les irrationnels (en vert). Un rationnel peut être présenté sous forme de fraction de deux entiers.

Parmi les rationnels, certains peuvent être exprimés avec un nombre fini de décimales et d’autres non. Les premiers sont appelés des décimaux.

Parmi les décimaux, certains n’ont pas de décimale (oui, c’est paradoxal, mais c’est comme s’il y avait un zéro après la virgule). Ce sont des relatifs. Et parmi ces relatifs, certains sont positifs (ou nul). Ce sont des naturels. Les relatifs et les naturels sont des entiers.

Il y a donc plusieurs relations d’inclusion. Un naturel est un relatif qui est un décimal qui est un rationnel qui est un réel.

Formellement, on l’écrit ainsi :

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

Types d’exercices

En général, vous devez faire face à deux types d’exercices. Soit on vous demande quel est le plus petit ensemble numérique auquel appartient un nombre, soit on vous donne un tableau à remplir en vous demandant de cocher tous les ensembles dans lesquels le nombre se situe.

Par exemple, si vous devez déterminer le plus petit ensemble dans lequel se trouve \(\frac{1}{3},\) vous devez répondre \(\mathbb{Q}\) (rationnels) parce que ce n’est pas un décimal (si l’on divise 1 par 3, on obtient 0,33… avec une infinité de 3).

Sous forme de tableau…

D’autres exercices réclament un autre type de réflexion, réclamant une bonne maîtrise du sujet pour trouver des exemples et contre-exemples (exercice 2 ci-dessous).

Exercice 1

Donner le plus petit ensemble numérique dans lequel se situent les nombres suivants (en justifiant) :

1. \(-\sqrt{9}\)
2. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
3. \(\frac{42,56}{5,32}\)
4. \(\frac{4π}{3π}\)
5. \(\sqrt{1,21}\)
6. \(\sqrt{-4}\)

Corrigé 1

1. Les racines carrées sont souvent des irrationnels (et donc la réponse est souvent \(\mathbb{R},\) l’ensemble des réels) mais lorsqu’il s’agit d’un carré parfait comme ici, c’est différent. Comme \(\sqrt{9} = 3\) le nombre proposé est en fait \(-3.\) La réponse est donc \(\mathbb{Z},\) l’ensemble des entiers relatifs.

2. Là, il n’a aucune subtilité. L’inverse d’un irrationnel est toujours un irrationnel. On peut le démontrer par l’absurde. Soit \(r\) un irrationnel. Sont inverse est \(\frac{1}{r} = {q}\). Si \(q\) était un rationnel, alors \(\frac{1}{q}\) en serait un aussi. Mais ce n’est pas le cas puisque \(\frac{1}{q} = r\) (l’inverse de l’inverse de \(r\) est lui-même). \(r\) ne peut pas être à la fois rationnel et irrationnel.  La réponse est \(\mathbb{R}.\)

3- La question suivante est facile si vous pouvez utiliser une calculatrice. Sinon… c’est facile aussi mais c’est plus long ! Si vous faites l’opération, vous trouvez 8. Donc \(\mathbb{N}.\)

4- Lorsque \(π\) traîne dans les parages, le nombre est presque toujours un irrationnel. Mais ici, on le retrouve au numérateur et au dénominateur. Donc en simplifiant la fraction on obtient \(\frac{4}{3}\) qui est un rationnel. La réponse est \(\mathbb{Q}.\)

5- Question-piège, surtout sans calculatrice. On pourrait penser que c’est un irrationnel (donc réponse \(\mathbb{R}\)) mais \(\sqrt{1,21} = 1,1.\) Donc c’est un décimal. En principe, vous devez connaître les premiers carrés, y compris celui de 11. Sachant que \(11^2 = 121\) vous pouvez répondre à la question sans calculatrice.

6- La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. Donc il n’y a pas de plus petit ensemble, ce nombre n’est même pas un réel !

Exercice 2

Répondre aux questions en justifiant les réponses :

1. La somme de deux irrationnels est-elle toujours un irrationnel ?
2. Le carré d’un irrationnel peut-il être un entier naturel ?
3. La racine carrée d’un entier peut-elle être un nombre relatif ?

Corrigé 2

1- Non. Par exemple, la somme d’un irrationnel et de son opposé est égale à zéro (qui est un rationnel et même un entier naturel).
2- Oui. Par exemple, \(\sqrt{2}^2 = 2.\)
3- Oui, bien sûr. Par exemple, \(\sqrt{16} = 4\) et \(4 \in \mathbb{Z}.\)