Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Un exercice sur série statistique discrète

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Exercice d'initiation aux statistiques descriptives

Voici un exercice simple de statistiques descriptives. Le niveau de difficulté est celui de la classe de seconde, plus un complément pour élèves de première en fin de page. Il montre comment on peut exploiter une série statistique brute pour en extraire des informations. La fonction statistique de la calculatrice ne sera pas utilisée pour bien détailler la façon dont sont obtenus les différents paramètres.

Exercice

Des concessionnaires automobiles relèvent pendant deux mois, soit quarante-cinq jours ouvrés, le nombre de véhicules vendus quotidiennement. Il obtient 2 ; 0 ; 1 ; 0 ; 3 ; 1 ; 0 ; 2 ; 1 ; 4 ; 3 ; 1 ; 2 ; 0 ; 4 ; 2 ; 3 ; 1 ; 0 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5 ; 1 ; 2 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 1 ; 2 ; 3 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2 ; 1 ; 4 ; 5 ; 3 ; 1 ; 2 ; 0 ; 2.

Présenter ces chiffres sous forme de tableau en indiquant les fréquences et les fréquences cumulées. Déterminer la moyenne, la médiane, les quartiles, l’étendue et représenter le diagramme en boîte (NB : il n'est pas rare que les élèves de seconde étudient le diagramme en boîte mais celui-ci figure en principe au programme de première).

Corrigé détaillé

Le caractère qui nous intéresse est le nombre de véhicules vendus par jour et l’effectif est le nombre de jours. Cette distinction est fondamentale et une bonne partie des erreurs commises par les lycéens vient de la confusion entre le caractère et l’effectif.

Commençons par le travail le plus ennuyeux : il faut compter combien il y a de 0, de 1, etc. Ceci permet d’établir un tableau trié par ordre croissant du caractère étudié :

tableau

Par prudence, vérifions que 9 + 11 + 14 + 5 + 4 + 2 = 45

D’ores et déjà, nous pouvons calculer la moyenne. Celle-ci est bien sûr pondérée par les effectifs :

moyenne

Chaque effectif (nombre de jours) est divisé par l’effectif total, c’est-à-dire 45, pour obtenir la fréquence.

fréquences

Là aussi, on vérifie la somme des fréquences. Elle doit être égale à 1, éventuellement un peu plus ou un peu moins à cause des arrondis. Pour obtenir les fréquences cumulées, on ajoute les fréquences entre elles.

fréquences cumulées

En raison des arrondis, je me permets de tricher un peu pour faire apparaître 1 (car 0,999 ferait mauvais effet !).

Ce tableau permet de trouver la médiane, c’est-à-dire le nombre de véhicules vendus pour une fréquence cumulée de 0,5. Il ne faut pas dire que « c’est entre 1 et 2 » mais bien que la médiane est de 2 véhicules par jour. En effet, si l’on trie tous les jours en ordre croissant de véhicules vendus, on constate qu’il a été vendu deux véhicules le jour du milieu (qui est le 23e).

De même le premier quartile (Q1) est 1 et le troisième quartile (Q3) est 2. Ici, la médiane est donc égale au troisième quartile. L’écart interquartile s’établit à 1. Remarque : Q3 est égal à 2 lorsqu'on utilise cette technique qui est celle du programme de l'Éducation Nationale en France. En fait, Q3 tombe entre 2 et 3 et si vous utilisez la fonction statistique d'une calculatrice ou un logiciel, vous obtiendrez Q3 = 2,5.

L’étendue est donc de 5 – 0 = 5.

Le diagramme en boîte est représenté ci-dessous. Comme la médiane et Q3 sont confondus, j’ai indiqué la médiane par un trait rouge.

diagramme en boîte

Conclusion : la dispersion est assez faible (écart interquartile de 1 seulement). Cette distribution est typique des caractères qui prennent de petites valeurs entières avec une impossibilité de s’étendre à gauche (on ne vend pas un nombre négatif de véhicules). La moyenne et la médiane sont proches mais compte tenu du faible nombre de valeurs que peut prendre le caractère observé, la médiane n’est pas un indicateur très pertinent sur cet exemple.

Complément pour élèves de première générale

Calculer la variance et l’écart-type de cette distribution.

La variance est la moyenne pondérée des carrés des différences entre les valeurs du caractère observé et sa valeur moyenne (pas facile à expliquer en une phrase !). L’écart-type est la racine carrée de la variance.

détail de la variance

En principe, sur une copie, on indique la façon de calculer la variance (comme ci-dessus) mais on utilise la fonction statistique de la calculatrice pour trouver directement le résultat. Comme nous ne manquons pas de courage, calculons tout de même la variance « à l’ancienne »…

détail de la variance

D’où V = 83,778 / 45 = 1,8617

Il s'ensuit que σ = 1,3645.

 

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