Le coefficient de variation

EAM et coefficient de variation

 

Que l’on se situe dans une problématique de statistiques descriptives ou probabilistes, les paramètres de dispersion sont, avec ceux de tendance centrale (moyenne, médiane…), ceux qui résument le mieux une distribution. Encore faut-il choisir les plus judicieux dans la vaste panoplie qui nous est offerte.

Pour mesurer la dispersion d’une série statistique, l’écart-type est l’indicateur roi. Mais il n’est pas le seul. L’étendue en est un autre, rarement intéressant. Quant aux quartiles, ils ne sont pas simples à interpréter. En voici d’autres, qui peuvent avoir leur utilité.

 

L’écart absolu moyen

L’écart absolu moyen (EAM ou MAD pour mean absolute deviation) est un indicateur assez rudimentaire.

C’est la moyenne arithmétique des écarts à la moyenne en valeur absolue (évidemment, si l’on omet la valeur absolue, EAM = 0). Hélas, cet indicateur ne présente pas des propriétés mathématiques très intéressantes et, de ce fait, il est assez stérile pour construire des outils plus élaborés du statisticien et du prévisionniste.

\[{\rm{EAM}} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {{x_i} - \overline x } \right|} \]

Comme il est facile à comprendre, il peut être suivi tel quel et constituer un indicateur de tableau de bord dans les différentes directions d'une entreprise.

L’EAM est par exemple utilisé en finance pour mesurer le risque d'un portefeuille (EAM des rentabilités).

Outre sa simplicité, il offre un autre avantage par rapport à l’écart-type : il ne surpondère pas les valeurs aberrantes puisqu’il est construit à partir d’écarts à la moyenne et non à partir de carrés d’écarts.

Avec Excel, utilisez la fonction ECART.MOYEN.

Exemple :

2 séries

évolutions

Il en existe une variante : l’écart absolu par rapport à la médiane. Il présente un intérêt lorsque la moyenne ne signifie pas grand-chose. Par exemple, il est souvent fallacieux de raisonner sur des salaires moyens plutôt que sur des salaires médians. L’écart absolu par rapport au salaire médian peut donc constituer un indicateur intéressant dans un tableau de bord RH.

 

Le coefficient de variation

Le coefficient de variation (noté CV, Cv ou c), ou écart-type relatif, est l’écart-type divisé par la moyenne. Indicateur sans dimension, il permet des comparaisons lorsque les unités de mesure diffèrent. D’ailleurs on l’exprime souvent en pourcentage. Nous le devons à Carl Pearson.

L'intérêt est évident : si les décideurs d’une multinationale souhaitent connaître la dispersion des rémunérations de leurs salariés dans deux filiales, indienne et européenne, ils doivent comparer une dispersion en roupies et une autre en euros. Or, il faut plusieurs dizaines de roupies pour un euro. Donc, à dispersion égale, l’écart-type en roupies sera beaucoup plus élevé. Heureusement, le coefficient de variation s’affranchit de ce détail fâcheux.

Un autre intérêt est d'évaluer la qualité d'une prévision : si une série chronologique présente un fort coefficient de variation (supérieur à 1), les prévisions risquent de ne pas être très fiables.

Il n’existe pas de fonction spécifique sur Excel. Mais comme il suffit de diviser l’écart-type par la moyenne, ce n’est pas un problème.

Exemple : une série de valeurs a été entrée sur Excel, puis la même multipliée par 100. L’écart-type de la seconde série est bien entendu celui de la première multiplié par 100. En revanche, le coefficient de variation est le même pour les deux séries.

calcul de 2 CV

Le CV peut s’appliquer dans un contexte de statistiques descriptives ou probabilistes. Il est donc possible d’utiliser l’écart-type empirique ou un écart-type estimé sur une population…

CV empirique : \(\frac{{{s_x}}}{{\overline x }}\)

CV : \(\frac{{{\sigma _x}}}{\mu }\)

 

L’interquartile relatif

Dans le même ordre d’idée que le CV, on peut mentionner l’interquartile relatif qui est l’écart interquartile normalisé par la médiane. Lui aussi permet de comparer la dispersion de deux distributions, même si les unités de mesures sont très différentes.

\[\frac{{{Q_1} - {Q_3}}}{{Me}}\]

De même, il est bien sûr possible de construire un écart interdécile relatif ou même, sur un effectif important, un écart intercentile relatif (quoiqu’un écart intercentile ne soit guère plus pertinent qu’une étendue !).