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(et fondements mathématiques)

L'intervalle de fluctuation d'une variable aléatoire

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Intervalle de fluctuation d'une v.a suivant une loi normale

Il existe plusieurs façons d’aborder la loi normale et ses intervalles de fluctuation. Ainsi les têtes pensantes de l’Éducation nationale ont trouvé judicieux d’aborder ce sujet différemment selon qu’il est enseigné en terminale générale ou en terminale technologique. Si vous êtes en filière générale vous étudiez l’intervalle de fluctuation asymptotique (migrez sur la page intervalles associés à la loi normale centrée réduite) et si vous êtes en terminale STMG, inutile de cliquer : vous êtes au bon endroit.

Un nouvel intervalle de fluctuation !

En classe de seconde, vous avez vu la notion d’intervalle de fluctuation. Bref rappel : vous avez sélectionné un échantillon au sein d’une population dont vous connaissez une caractéristique (par exemple, vous savez qu’il y a 50 % d’hommes et 50 % de femmes). Votre échantillon reflète-t-il cette réalité ? Plus ou moins. Mais « plus ou moins », c’est un peu flou ; il faut être plus précis. Reflète-t-il cette réalité avec un risque de se tromper de 5 % ? Ha, voici enfin une question qui appelle une réponse « oui ou non ». Si l’on trouve 45 % d’hommes, cela signifie-t-il que l’échantillon n’est pas représentatif ? Peut-être, ça dépend de la taille de cet échantillon.

Maintenant, ce n’est pas tout à fait la même notion que vous voyez en terminale. Il s’agit à présent de l’intervalle de fluctuation d’une variable aléatoire. La taille d’échantillon n’intervient pas car nous ne sommes plus dans une problématique d’échantillonnage.

Nous connaissons la distribution d’un caractère statistique pour une population. Dans une optique probabiliste, ce caractère est une variable aléatoire. Appelons-la X. Dans les cas qui vont nous occuper, sa distribution est normale. Pour un seuil donné, par exemple 95 %, l’intervalle de fluctuation de X est l’intervalle dans lequel X a 95 chances sur 100 de se trouver.

Comment le déterminer ?

Ce que vous devez savoir tient en une formule : si dans une population un caractère statistique est distribué selon une loi normale d’espérance m et d’écart-type σ, alors la probabilité qu’a X de se trouver dans l’intervalle m ± 2σ est d’environ 0,95. C’est tout.

Donc P(m – 2σ   m + 2σ) 0,95

Si l’on veut être plus précis, on a 95 chances sur 100 de se trouver dans l’intervalle [m – 1,96σ ; m + 1,96σ]. Mais pour certains niveaux d’étude (dont la terminale STMG), on arrondit en retenant plus ou moins deux écarts-types.

Illustration avec GeoGebra :

distribution normale

Exercice

Une entreprise de confection produit des pull-overs. La saison précédente, tous les pulls d’une taille donnée ont été pesés. Les résultats de cette étude servent de référence pour les années suivantes.

Ainsi on sait que 95 % des pulls pèsent entre 490 et 510 grammes. On modélise leur poids par une loi normale.

Après avoir déterminé les paramètres de cette loi, calculer la probabilité qu’un pull pèse entre 500 et 505 g.

pull

Corrigé détaillé

Selon l’énoncé, on considère que [490 ; 510] est l’intervalle de fluctuation d’une variable aléatoire X au seuil approximatif de 95 %.

La loi normale étant symétrique, l’espérance est facile à calculer : elle se situe au milieu de l’intervalle [490 ; 510]. Faisons la moyenne des deux bornes : (490 + 510) / 2 = 500. Donc m = 500.

On sait que 95 % des valeurs se trouvent dans un intervalle d’environ deux écarts-types autour de l’espérance, c’est-à-dire que l’intervalle au seuil de 95 % réunit quatre écarts-types sur une plage de 510 – 490 soit 20 grammes. Par conséquent un écart-type vaut 20 / 4 = 5.

Nous avons facilement déterminé les paramètres de la loi. Quelle est la probabilité qu’un pull pèse entre 500 et 505 g, c’est-à-dire entre l’espérance et l’espérance plus un écart-type ?

Le plus simple est d’utiliser une calculatrice (mode d’emploi en page introduction à la loi normale). Avec une TI-83 Premium CE :

fenêtre

Soit une probabilité d’environ 0,341.

Avec Excel

On utilise la fonction LOI.NORMALE.N (ou LOI.NORMALE avec d’anciennes versions). Mais la procédure est moins directe qu’avec une calculatrice. Excel fournit seulement la probabilité qu’a une variable aléatoire X d’être inférieure à une valeur donnée.

Il faut d’abord calculer la probabilité que X soit inférieure à la borne inférieure qui est 500 (dans la capture d’écran qui suit, cellule D2 avec la formule qui apparaît au-dessus) puis la probabilité contraire puisque X devra être SUPÉRIEURE à cette borne. (E2 = 1 – D2). Notez que si la formule entrée en D2 se termine par un 1 c’est parce que l’on cherche un cumul. Donc :

=LOI.NORMALE.N(borne;espérance;écart-type;1)

En F2 nous avons la probabilité que X soit inférieure à la borne supérieure. C’est la même formule qu’en D2 sauf qu’on va chercher la borne supérieure (505) en B4. Enfin, la probabilité que X soit inférieure à la borne supérieure et enfin faire la différence entre les deux cellules précédentes. G2 = F2 – E2. On ne se préoccupe pas du fait que les inégalités sont larges ou strictes puisque la loi normale est une loi de probabilité continue.

excel

 

 

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