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(et fondements mathématiques)

La loi binomiale à la calculatrice

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Exercice sur la loi normale avec calculatrices TI

Aujourd’hui, la loi binomiale est au programme des classes de première de plusieurs filières. Et bien qu'elle ne soit pas toujours revue en terminale, elle a la fâcheuse (?) habitude de s'incruster à l'épreuve du bac.

Qui est-elle ? C'est une loi de probabilité qui modélise une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes les unes des autres, c'est-à-dire un schéma de Bernoulli. L’exemple typique est celui d’une suite de n lancers à pile ou face pour laquelle il faut déterminer la probabilité d’obtenir pile (ou face) k fois.

La formule est la suivante (si vous êtes dans une section où elle n'est pas au programme, visitez plutôt la page initiation à la loi binomiale). C'est un produit de trois facteurs :

loi binomiale

Traduction. On cherche la probabilité d’obtenir k tirages favorables en connaissant deux paramètres : le nombre maximal de tirages favorables (n) et la probabilité de tomber dessus (p). Remarquons que la taille de la population n’apparaît pas directement dans la formule (selon l'énoncé, elle peut intervenir pour calculer p).

Ce qui est appelé « succès » correspond à ce qui est cherché, même si ça n’a rien à voir avec un succès. Dans l’exemple ci-dessous, on s’intéressera à des pommes véreuses, la découverte d’un ver dans une pomme n’ayant pourtant rien d'une success story...

Supposons une certaine quantité de pommes. Comme elles ne sont pas traitées, certaines sont hélas véreuses. C’est la nature. Bref, on en choisit dix sachant qu’environ 5 % de la récolte contient d’indésirables squatteurs. Quelle est la probabilité de tomber sur deux véreuses exactement ?

Soit nous supposons que l’on remet les fruits observés dans le sac si l'on en récolte très peu (c’est l’exercice classique des boules de couleur dans une urne), soit qu’elles ne sont pas forcément remises si l’on en a beaucoup, ce qui revient peu ou prou au même. En langage probabiliste, on considère des évènements INDÉPENDANTS ce qui permet d’utiliser cette bonne vieille loi binomiale.

Replaçons les paramètres dans la formule, produit de trois facteurs. Le premier, appelé coefficient binomial, est une combinaison de deux pommes prises parmi dix. Si l'on dressait un arbre de probabilités, ce serait le nombres de branches correspondant aux évènements qui nous intéressent. On détermine aussi ce nombre avec une formule qui n'est pas au programme de première (elle se trouve en page combinatoire), avec le triangle de Pascal ou encore avec un logiciel ou une calculatrice, solutions plus simples mais pour lesquelles il faut intellectuellement investir dans un mode d’emploi. Voyons ceci avec une TI-82 ou une TI-83 Plus.

D'abord, entrez 10 (nombre n de pommes observées) puis touche MATH. Déplacement sur PRB. Dans le menu qui apparaît, optez pour le choix 3 (Combinaison). Entrée > 2 > Entrée. Le résultat 45 apparaît.

Les deux termes suivants ne posent pas de difficulté. La probabilité de « succès » est 0,05 (en l’occurrence élevée à la puissance 2) et celle d’échec est évidemment de 0,95 (puissance 8).

exemple

Bien sûr, le résultat peut être déterminé en une seule étape. Cette fois, utilisons la TI-83 Premium CE (attention, avant chaque signe multiplier, revenir sur la ligne principale avec la flèche vers la droite, sinon vous appliquerez le reste des calculs soit à la puissance soit au 2 du coefficient binomial).

Mais au fait, pourquoi deux pommes et non pas une, ou trois, ou dix ? Le plus simple ne serait-il pas d’obtenir toutes les valeurs de la loi ?

Pour cela, définissons d'abord la liste des valeurs possibles. Option n°1 : il n’y en a que onze, nous pouvons les saisir une à une. Touche STAT, puis EDIT et entrée des valeurs dans la première colonne (en commençant par 0). Option n°2 : méthode moins laborieuse, touche 2nd pour bénéficier de la touche listes. Dans le menu, choisir OP (ou OPS). Choix 5 (suite). Il faut entrer cinq paramètres : l’expression, la variable, la première valeur, la dernière et le pas. Si celui-ci est égal à 1, ce qui est le cas ici, inutile de l’entrer. Par ailleurs, il n’y a pas lieu de distinguer l’expression de la variable. Il suffit de choisir n’importe quelle même lettre (avec la touche ALPHA). Donc ici, on entre x, x, 0 et 10 puis touche STO et 2nd L1. Entrée. Le début de la liste apparaît. Si l’on a la curiosité de faire un détour dans l’éditeur de listes statistiques, on remarque que la liste 1 contient bien les valeurs de 0 à 10.

Quittez le mode statistique avec touche 2nd, puis touche distrib. Choix n°A:binomFdp. Il suffit alors d’entrer les deux paramètres n (trials ou nbreEssais) et p, en l’occurrence 10 et 0,05, entrer quatre fois pour obtenir entre accolades la liste des probabilités pour 0, 1, 2 jusqu’à dix pommes véreuses. Ci-dessous les écrans des TI-82 et TI-83 Plus.

Touches STO puis L2 si l’on souhaite visionner dans l’éditeur de listes statistiques la probabilité correspondant à chaque nombre k de pommes véreuses souhaitées. On retrouve bien notre probabilité de 0,07463 laborieusement découverte en entrant la formule.

Supposons à présent que l’on souhaite obtenir les probabilités cumulées. Ceci répond à la question « quelle est la probabilité d’obtenir moins de k + 1 pommes véreuses ? » ou « au plus k pommes véreuses ? ».

L’opération est presque la même. Simplement, dans le menu des distributions, on retient le choix B :binomFRép. On peut là encore abuser de la touche STO et placer ces probabilités cumulées en L3.

Pour connaître les probabilités contraires, il suffit de créer une liste L4 définie par 1 – L3 (se placer dans l'en-tête de L4 pour entrer cette formule). On apprend alors que sur notre tirage de dix pommes, on a tout de même quatre chances sur dix d’en avoir au moins une de véreuse, 8,6 chances sur cent d’en avoir au moins deux, et ainsi de suite.

Sachant que l'espérance d'une loi binomiale est np, combien de non véreuses peut-on espérer trouver sur un millier de pommes ? 0,95 × 1 000 = 950. Facile.

D'autres exercices sur la loi binomiale (niveau première) : voir pages exercice sur la loi binomiale, partie 1, et exercices sur les paramètres de la loi binomiale (première S). Voir aussi l'exercice sur probabilités conditionnelles (bac STMG).

 

probabilité

 

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