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La loi binomiale avec Excel

Distributions binomiales

Cette page présente, sous forme d’exemples, un entraînement à l’utilisation d’Excel pour déterminer une distribution binomiale à partir de ses paramètres et inversement. Le niveau de difficulté est celui d’une terminale technologique.

 

Exemple 1

Dans cet exemple nous partons d’une loi binomiale dont les paramètres sont connus pour établir ses probabilités et pour représenter sa distribution.

On suppose qu’une épreuve de Bernoulli a été réitérée 20 fois, de façon identique et indépendante. On sait également que l’espérance est 6.

Quels sont les paramètres de cette loi ?

Il s’agit bien d’une loi binomiale, et donc son espérance est égale à np avec n=20 et p inconnu. Or np=6.

20p=6
p=620=0,3

Le mystérieux p est à présent connu. Voici les probabilités, aimablement fournies par Excel :

extrait de feuille excel

Par exemple, la probabilité de n’avoir aucun succès est d’environ 0,0007979.

La première colonne est très facile à construire. Soit on entre les premiers nombres puis on poursuit vers le bas avec la poignée de recopie, soit on entre 0 en A2, puis =A2+1 en A3 et on recopie cette formule vers le bas.

La barre de fonction montre la formule à entrer (et à copier vers le bas avec la poignée de recopie) pour obtenir les probabilités : la fonction est LOI.BINOMIALE. On entre trois valeurs : celle de k pour laquelle on cherche la probabilité et qui figure dans la cellule de gauche, celle de n et celle de p. On entre ensuite FAUX pour obtenir X=k (si on entre VRAI, on répond à la question Xk).

Pour réaliser le graphique, sélectionnez les valeurs des deux colonnes (lignes 1 à 22). Puis cliquez sur Insertion et choisissez le graphique (par exemple dans Graphiques recommandés).

Pour éliminer la longue liste de décimales sur l’axe vertical, sélectionnez cet axe avec un double-clic et dans la fenêtre qui s’affiche choisissez Nombre puis entrez le nombre de décimales que vous souhaitez.

graphe

Cette distribution est parfaitement cohérente avec l’espérance de 6.

 

Exemple 2

Nous disposons des probabilités suivantes. Sachant qu’elles suivent une loi binomiale, déterminons ses paramètres et son espérance.

liste

Cet exercice ressemble au précédent… à l’envers.

Nous remarquons que n=15.

Le calcul de l’espérance peut être réalisé avec Excel en multipliant les valeurs des deux colonnes puis en faisant la somme des produits :

tableau

L’espérance s’établit à 9. Donc 15p=9.

Ainsi p=0,6.

 

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