Distributions binomiales
Cette page présente, sous forme d’exemples, un entraînement à l’utilisation d’Excel pour déterminer une distribution binomiale à partir de ses paramètres et inversement. Le niveau de difficulté est celui d’une terminale technologique.
Exemple 1
Dans cet exemple nous partons d’une loi binomiale dont les paramètres sont connus pour établir ses probabilités et pour représenter sa distribution.
On suppose qu’une épreuve de Bernoulli a été réitérée 20 fois, de façon identique et indépendante. On sait également que l’espérance est 6.
Quels sont les paramètres de cette loi ?
Il s’agit bien d’une loi binomiale, et donc son espérance est égale à \(np\) avec \(n = 20\) et \(p\) inconnu. Or \(np = 6\).
\(20p = 6\)
\(⇔ p = \frac{6}{20} = 0,3\)
Le mystérieux \(p\) est à présent connu. Voici les probabilités, aimablement fournies par Excel :
Par exemple, la probabilité de n’avoir aucun succès est d’environ 0,0007979.
La première colonne est très facile à construire. Soit on entre les premiers nombres puis on poursuit vers le bas avec la poignée de recopie, soit on entre 0 en A2, puis =A2+1 en A3 et on recopie cette formule vers le bas.
La barre de fonction montre la formule à entrer (et à copier vers le bas avec la poignée de recopie) pour obtenir les probabilités : la fonction est LOI.BINOMIALE. On entre trois valeurs : celle de \(k\) pour laquelle on cherche la probabilité et qui figure dans la cellule de gauche, celle de \(n\) et celle de \(p.\) On entre ensuite FAUX pour obtenir \(X = k\) (si on entre VRAI, on répond à la question \(X \leqslant k\)).
Pour réaliser le graphique, sélectionnez les valeurs des deux colonnes (lignes 1 à 22). Puis cliquez sur Insertion et choisissez le graphique (par exemple dans Graphiques recommandés).
Pour éliminer la longue liste de décimales sur l’axe vertical, sélectionnez cet axe avec un double-clic et dans la fenêtre qui s’affiche choisissez Nombre puis entrez le nombre de décimales que vous souhaitez.
Cette distribution est parfaitement cohérente avec l’espérance de 6.
Exemple 2
Nous disposons des probabilités suivantes. Sachant qu’elles suivent une loi binomiale, déterminons ses paramètres et son espérance.
Cet exercice ressemble au précédent… à l’envers.
Nous remarquons que \(n = 15.\)
Le calcul de l’espérance peut être réalisé avec Excel en multipliant les valeurs des deux colonnes puis en faisant la somme des produits :
L’espérance s’établit à 9. Donc \(15p = 9.\)
Ainsi \(p = 0,6.\)
