Distributions binomiales
Cette page présente, sous forme d’exemples, un entraînement à l’utilisation d’Excel pour déterminer une distribution binomiale à partir de ses paramètres et inversement. Le niveau de difficulté est celui d’une terminale technologique.
Exemple 1
Dans cet exemple nous partons d’une loi binomiale dont les paramètres sont connus pour établir ses probabilités et pour représenter sa distribution.
On suppose qu’une épreuve de Bernoulli a été réitérée 20 fois, de façon identique et indépendante. On sait également que l’espérance est 6.
Quels sont les paramètres de cette loi ?
Il s’agit bien d’une loi binomiale, et donc son espérance est égale à np avec n=20 et p inconnu. Or np=6.
20p=6
⇔p=620=0,3
Le mystérieux p est à présent connu. Voici les probabilités, aimablement fournies par Excel :
Par exemple, la probabilité de n’avoir aucun succès est d’environ 0,0007979.
La première colonne est très facile à construire. Soit on entre les premiers nombres puis on poursuit vers le bas avec la poignée de recopie, soit on entre 0 en A2, puis =A2+1 en A3 et on recopie cette formule vers le bas.
La barre de fonction montre la formule à entrer (et à copier vers le bas avec la poignée de recopie) pour obtenir les probabilités : la fonction est LOI.BINOMIALE. On entre trois valeurs : celle de k pour laquelle on cherche la probabilité et qui figure dans la cellule de gauche, celle de n et celle de p. On entre ensuite FAUX pour obtenir X=k (si on entre VRAI, on répond à la question X⩽k).
Pour réaliser le graphique, sélectionnez les valeurs des deux colonnes (lignes 1 à 22). Puis cliquez sur Insertion et choisissez le graphique (par exemple dans Graphiques recommandés).
Pour éliminer la longue liste de décimales sur l’axe vertical, sélectionnez cet axe avec un double-clic et dans la fenêtre qui s’affiche choisissez Nombre puis entrez le nombre de décimales que vous souhaitez.
Cette distribution est parfaitement cohérente avec l’espérance de 6.
Exemple 2
Nous disposons des probabilités suivantes. Sachant qu’elles suivent une loi binomiale, déterminons ses paramètres et son espérance.
Cet exercice ressemble au précédent… à l’envers.
Nous remarquons que n=15.
Le calcul de l’espérance peut être réalisé avec Excel en multipliant les valeurs des deux colonnes puis en faisant la somme des produits :
L’espérance s’établit à 9. Donc 15p=9.
Ainsi p=0,6.