Articulation entre tendance et composante saisonnière
Vous observez la représentation graphique d’une série chronologique et des oscillations apparaissent à intervalles plus ou moins réguliers. Est-ce grave, docteur ? Non, il s’agit d’une simple saisonnalité. Un petit traitement en viendra facilement à bout. Toutefois, il s’agit d’abord de déterminer le type de saisonnalité qui nous préoccupe…
Les composantes
D’abord, voyons ce que l’on nomme les composantes d’une série temporelle et plus particulièrement d’une série d’ordre économique.
Ce type de chronique comporte habituellement une tendance ainsi qu'une composante saisonnière qu'il faut parfois ôter pour gagner en visibilité. Mais ceci n’explique pas tout et il subsiste toujours un « résidu » inexpliqué et parfaitement aléatoire.
Si la série de ces seuls résidus est, d’une façon ou d’une autre, structurée, c’est soit que la tendance a mal été identifiée (le prévisionniste a par exemple retenu une tendance linéaire alors qu’elle ne l’est pas), soit que le schéma de décomposition de la composante saisonnière n’est pas le bon (c’est l’objet de cette page), soit qu’une autre variation n’a pas été mise à jour. Il peut en effet exister un élément cyclique, une superposition de composantes saisonnières, etc. (à titre d’exemple, un commerçant peut vendre plusieurs marchandises aux saisonnalités diverses). Les valeurs observées résultent donc d’un jeu plus ou moins complexe d’interactions entre différents types de mouvements de natures différentes.
Une tendance « pure » est identifiée par une régression linéaire ou non linéaire. Un calcul de moyennes mobiles (MM) permet soit de filtrer un ensemble comprenant tendance et cycle, soit de constituer une étape intermédiaire dans l’identification de la tendance (la régression est alors calculée sur la série lissée par MM). Notons aussi qu'il n'existe pas toujours de tendance, ce qui simplifie l'analyse (voir le sujet de BTS en page exemples de prévisions de ventes saisonnières).
Un mouvement saisonnier se repère souvent à l’œil nu à partir du graphique de la série. Il existe ensuite des techniques plus « scientifiques » pour accepter ou rejeter l’hypothèse de saisonnalité. Ainsi, l’ANOVA sur saisonnalité consiste à retirer la tendance, à considérer chaque période comme un échantillon et enfin à tester si ces périodes peuvent être considérées comme identiques.
Le schéma additif
Si les oscillations saisonnières se reproduisent avec une même amplitude alors que la tendance évolue à la hausse ou à la baisse, cela revient à caler sur cette dernière une fonction périodique. Le schéma de décomposition est additif. Dans une configuration de saisonnalité sur données mensuelles, on ajoute à la tendance une certaine valeur positive ou négative pour chaque mois de janvier afin d’obtenir un montant théorique et idem pour tous autres les mois. La moyenne de ces valeurs sur une année moyenne est égale à zéro (voir la conservation des aires). On doit alors obtenir une série théorique proche de la série observée.
Les coefficients ne changent pas pour un mois donné d’une année sur l’autre, sauf si le prévisionniste opte pour des coefficients glissants.
Illustration d'un schéma additif sur une tendance affine :
Le schéma multiplicatif
Lorsqu’au contraire la dispersion intra-période varie avec le niveau de la tendance, le schéma est géométrique : pour obtenir une série théorique qui ressemble au mieux à la série réelle, on affecte à chaque mois un coefficient multiplicatif. Il est évident que la technique ne s’applique pas qu'aux mois mais à toutes les périodicités possibles (horaire, hebdomadaire, trimestrielle…).
Votre logiciel a peut-être l’extrême obligeance de choisir lui-même le bon schéma d'ajustement mais c’est surtout le graphique qui permet de choisir entre un modèle additif ou multiplicatif, voire mixte.
Ci-dessous figure un exemple de schéma multiplicatif sur un trend linéaire (la courbe est située dans un couloir qui s’évase). On peut vérifier que le schéma est multiplicatif en calculant, pour chaque cycle, le coefficient de variation. S’il croît de concert avec la tendance, le schéma est multiplicatif.
Le schéma multiplicatif peut être simple (la composante résiduelle s’ajoute au modèle) ou complet (elle se multiplie). Ce dernier cas de figure est plus facile à traiter dans la mesure où une transformation logarithmique permet de retrouver le schéma additif (sa représentation graphique sur repère semi-logarithmique est celle d’un schéma additif). C'est d'ailleurs le type d'ajustement le plus souvent retenu.
Voici un exemple réel de série temporelle qui montre clairement une saisonnalité dont l’amplitude augmente avec la tendance. Il s’agit de la progression du nombre de pages vues d’un fameux site web (source AWStats). Si la série avait été quotidienne, une autre composante périodique se serait juxtaposée à la saisonnalité (variations selon le jour de la semaine). Enfin, à l'intérieur même d'une journée existe une troisième périodicité, cette fois sur 24 heures.
Note : en raison d'un changement de serveur, les statistiques s'arrêtent à novembre 2012, les données manquantes ayant été trop nombreuses durant les mois suivants.
Un schéma mixte combine l’addition et la multiplication des éléments saisonniers.
Pour résumer
Soit \(y_t\) une valeur de la série, \(t_t\) sa composante tendancielle, \(s_t\) sa composante saisonnière et \(e_t\) sa part d’aléa.
Additif : \(y_t = t_t + s_t + e_t\)
Multiplicatif simple : \(y_t = t_t (1 + s_t) + e_t\)
Multiplicatif complet : \(y_t = t_t (1 + s_t) (1 + e_t)\)
Mixte : \(y_t = t_t (1 + s1_t) + s2_t + e_t\)
