Qualification des extremums par les valeurs propres
Situons le problème qui va nous occuper de temps de la lecture de cette page. Un point critique d’une fonction de plusieurs variables a été détecté. Que cache-t-il ? Un minimum, un maximum ou un point selle ? Plusieurs techniques existent pour parvenir à le définir et c’est tant mieux parce que parfois, celle à laquelle on a fait confiance se révèle inefficace. Il faut alors en essayer une autre. Cette page s’attache à l’une d’entre elles, fondée sur les valeurs propres.
Problématique
Le cadre est donc celui d’une optimisation, avec ou sans contrainte. La résolution d’un système à plusieurs inconnues a préalablement permis de détecter un ou plusieurs points candidats. Il faut alors établir les valeurs propres de la matrice hessienne en annulant son déterminant.
Règles
Si la hessienne n’admet aucune valeur propre, il faut se consoler avec une autre technique.
Si elle n’admet qu’une seule valeur propre : soit celle-ci est positive et le point est un minimum, soit elle est négative et le point est un maximum.
Si la matrice \(n × n\) admet jusqu’à \(n\) valeurs propres différentes : soit elles sont toutes positives et le point est un minimum, soit elles sont toutes négatives et c’est un maximum, soit elles ne sont pas toutes du même signe et c’est un point selle.
Exercice
\(f(x, y)\) \(=\) \(x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y\)
Déterminer les coordonnées des points remarquables de \(f\) avec la technique des valeurs propres, sans pour autant les calculer.
Éléments de correction
Cherchons d’abord le(s) point(s) candidat(s) et pour commencer, les dérivées premières…
\(f'_x (x, y)\) \(=\) \(3x^2 + 3y^2 - 15\) et \(f’_y (x, y)\) \(=\) \(6xy - 12\)
Ces dérivées doivent nous permettre de trouver nos points candidats.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x^2 + 3y - 15 = 0}\\ {6xy - 12 = 0} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x^2 + y^2 = 5}\\ {xy = 2} \end{array}} \right.\)
Remplaçons \(y\) par \(\displaystyle{\frac{2}{x}}\) (d'après l'équation 2). Donc \(x^2 + \left(\displaystyle{\frac{2}{x}}\right)^2 = 5\)
\(x^2 + \displaystyle{\frac{4}{x^2}} = 5\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{x^4 + 4}{x^2}} = 5\)
\(\Leftrightarrow x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)
Banale équation bicarrée, procédons au changement de variable : \(X^2 - 5X + 4\) \(=\) \(0.\)
Le discriminant est égal à 9, l'ensemble des solutions de \(X\) est \(S_1 = \{1 \,; 4\}\) et par conséquent les solutions de \(x\) sont \(S_2 = \{-2\, ; -1\, ; 1\, ; 2\}.\) C’est un jeu d’enfant de trouver les valeurs de \(y\) requises pour vérifier \(xy = 2.\) Il nous faut chercher ce que trafique notre fonction aux points de coordonnées \((-2\,; -1),\) \((-1\,; -2),\) \((1\,; 2)\) et \((2\,; 1).\)
Les dérivées secondes.
\(f’’_x (x, y) = 6x\) et \(f’’_y (x, y) = 6x\) et \(f’’_{xy} (x, y) = 6y\)
Pour résumer la situation, notre hessienne ressemble à \(H = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6x&6y\\ 6y&6x \end{array}} \right)\)
Le déterminant est égal à \(36x^2 - 36y^2.\)
1er point \((-2\,; -1)\) : le déterminant est égal à \(144 - 36 = 108.\) Comme il est positif et que le format de la matrice est \(2 × 2,\) les deux valeurs propres sont de même signe dans la mesure où le déterminant est égal au produit des valeurs propres. La trace est égale à -24. Rappelons que la trace, somme des valeurs de la diagonale, est égale à la somme des valeurs propres. On en déduit que ces dernières sont toutes deux négatives et que le point de coordonnées \((-2\,; -1)\) est un maximum.
\(f(-2 , -1)\) \(=\) \(-8 - 6 + 30 + 12\) \(=\) \(28\)
2e point \((-1\,; -2)\) : le déterminant est égal à \(-108 < 0.\) Donc les valeurs propres sont de sens contraire. Inutile d’aller plus loin, nous venons de mettre à jour un point selle.
\(f(-1 , -2)\) \(=\) \(-1 - 12 + 15 + 24\) \(=\) \(26\)
3e point \((1 \,; 2)\) : le déterminant ne vaut guère mieux que -108. Encore un point selle.
\(f(1 , 2)\) \(=\) \(1 + 12 - 15 - 24\) \(=\) \(-26\)
4e point \((2\,; 1)\) : le déterminant est égal à \(108 > 0\) et la trace est positive. Donc, les deux valeurs propres sont positives et le point en question est un minimum.
\(f(2, 1)\) \(=\) \(8 + 6 - 30 - 12\) \(=\) \(-28\)
Compléments
Ci-dessous, la surface représentative de \(f\) a été réalisée avec Excel.
Pour information, le tableau de valeurs :
