Identification d'un rectangle avec milieux et distances
La géométrie analytique donne le plaisir de s'entraîner sur des exercices de reconnaissance de figures. Parmi ceux-ci, les calculs de milieux et de distances permettent parfois de détecter la présence d'un rectangle, comme ce sera le cas ici (l'exercice est destiné aux élèves de seconde).
Nul besoin d’arriver en seconde pour savoir ce qu’est un rectangle. Pour démontrer que quatre points sont les sommets d'un rectangle, il existe plusieurs techniques. Rappelons les trois façons de le démontrer, connues depuis la troisième : soit on montre qu’un parallélogramme a ses deux diagonales de même longueur, soit on montre que ce parallélogramme possède UN angle droit (si un angle est droit, les trois autres le sont), soit qu'il s'agit d'un quadrilatère possédant quatre angles droits.
Exercice
Soit un plan muni d'un repère orthonormé. On considère quatre points de ce plan : \(A(-2\,;2),\) \(B(4\,;4),\) \(C(5\,;1)\) et \(D(-1\,;-1)\).
- Déterminer les coordonnées de \(M,\) milieu de \([AC]\) et de \(M',\) milieu de \([BD].\) Conclure.
- Calculer les distances \(AC\) et \(BD.\) Conclure.
- Démontrer que \(ABCD\) est un rectangle en utilisant le théorème de Pythagore.
- Tracer la figure.
Corrigé
1- \(M\) a pour coordonnées la moyenne des abscisses de \(A\) et de \(C\) et la moyenne de leurs ordonnées.
\(M\left( {\frac{{ - 2 + 5}}{2}\,;\frac{{2 + 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2}\,;\frac{3}{2}} \right)\)
Le milieu \(M'\) de \([BD]\) pour coordonnées…
\(M'\left( {\frac{{ - 1 + 4}}{2}\,;\frac{{-1 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2}\,;\frac{3}{2}} \right)\)
Les points \(M\) et \(M'\) sont confondus. \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu. Donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
Note : nous aurions également pu montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme en utilisant les vecteurs.
2- Calcul des distances. Le repère étant orthonormé, nous avons :
\(AC\) \(=\) \(\sqrt{(5+2)^2+(1-2)^2}\) \(=\) \(\sqrt{49+1}\) \(=\) \(\sqrt{50}\) \(=\) \(5 \sqrt{2}\)
\(BD\) \(=\) \(\sqrt{(-1-4)^2+(-1-4)^2}\) \(=\) \(\sqrt{25+25}\) \(=\) \(\sqrt{50}\) \(=\) \(5 \sqrt{2}\)
Les longueurs des deux diagonales \(AC\) et \(BD\) sont les mêmes. Par conséquent, le parallélogramme \(ABCD\) est un rectangle.
3- Nous allons à nouveau démontrer que le parallélogramme \(ABCD\) est un rectangle mais cette fois-ci en prouvant qu’il comporte un angle droit. Montrons pour cela que \(ABD\) est un triangle rectangle.
\(AB\) \(=\) \(\sqrt{(4+2)^2+(4-2)^2}\) \(=\) \(\sqrt{36+4}\) \(=\) \(\sqrt{40}\) \(=\) \(2 \sqrt{10}\)
\(AD\) \(=\) \(\sqrt{(-1+2)^2+(-1-2)^2}\) \(=\) \(\sqrt{1+9}\) \(=\) \(\sqrt{10}\)
La distance \(BD\) a déjà été calculée à la question précédente.
Ainsi \(AB^2 = 40,\) \(AD^2 = 10\) et \(BD^2 = 50.\)
Nous remarquons que \(AD^2 + AB²\) \(=\) \(BD^2.\) Selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A.\)
Le parallélogramme comporte donc un angle droit. \(ABCD\) est bien un rectangle.
Notons au passage que \(AB \ne AD\) (le triangle n’est pas isocèle). Le rectangle \(ABCD\) n’est donc pas un carré.
Notons aussi qu’en partant de la réponse à la première question, nous savions que \(ABCD\) était un parallélogramme. Mais nous aurions aussi bien pu prouver que \(ABCD\) était un rectangle sans passer par là. Il suffisait d’étudier le triangle \(BCD\) et de montrer qu’il avait les mêmes dimensions que \(ABD.\) Deux triangles rectangles avec la même hypoténuse (en l’occurrence \(BD\)) forment évidemment un rectangle.
4- Figure
La figure ci-dessous est réalisée sur Geoplan. Vous trouverez un mode d’emploi de ce type de construction avec ce logiciel en page colinéarité.
Question bonus
Calculer l’aire du rectangle \(ABCD\) (exprimée en unités d’aire).
Corrigé
L’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. Utilisons les propriétés des racines carrées pour calculer l’aire de \(ABCD\) :
\(\mathscr{A}\) \(=\) \(AB \times AD\) \(=\) \(\sqrt{40} \times \sqrt{10}\) \(=\) \(\sqrt{400}\) \(=\) \(20.\)
L’aire du rectangle est de 20 unités d’aire (lorsqu’il n’est pas indiqué d’unité, par exemple des cm², on ne peut que mesurer une surface en « unités d’aire », sans préciser ce que vaut physiquement une unité).
