La formule de Brahmagupta

Démonstration de la formule de Brahmagupta

Brahmagupta a été un grand mathématicien et astronome indien du septième siècle. Il fut donc contemporain du prophète Mahomet et du roi mérovingien Dagobert. Poète, il a écrit en vers deux traités majeurs qui furent, bien après sa mort, diffusés en Chine et dans le monde islamique. Son génie n’a été reconnu en Occident qu’au début du vingtième siècle et l’on peut imaginer que les progrès apportés aux mathématiques par les Européens à partir de la renaissance auraient été beaucoup rapides si son œuvre avait été diffusée quelques siècles plus tôt.

Aujourd’hui, nous connaissons surtout de lui une formule qu’il a énoncée.

 

La formule

La formule de Brahmagupta permet de déterminer l’aire d’un quadrilatère convexe dont les sommets se situent sur un même cercle et dont on connaît les mesures des côtés. Elle étend à certains quadrilatères la formule de Héron qui s’applique aux triangles.

Soit un quadrilatère inscriptible dans un cercle \(ABCD.\) Appelons ses côtés \(a,\) \(b,\) \(c\) et \(d.\) Pour ne pas alourdir la formule, nous appellerons \(s\) le demi-périmètre du quadrilatère.

Donc \(s = \frac{a + b + c + d}{2}\)

L’aire de \(ABCD\) vaut \(\mathscr{A} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}\)

La parenté avec la formule de Héron est évidente et l’on pourrait se demander pourquoi il a fallu attendre six siècles pour passer de l’une à l’autre… En fait, la démonstration est assez différente. Brahmagupta ne l’a pas écrite mais vous conviendrez qu’une démonstration mathématique en vers n’est pas à la portée du premier génie venu (et les démonstrations de formules n’allaient pas de soi comme aujourd’hui).

cerf-volant

 

Démonstration

La démonstration est un véritable festival de propriétés apprises pour la plupart d’entre elles au collège et au lycée.

Partageons le quadrilatère en deux triangles comme ci-dessous.

L’aire \(\mathscr{A}\) du quadrilatère \(ABCD\) est donc égale à la somme des aires des deux triangles \(ABD\) et \(BCD.\)

Rappelons que l’aire d’un triangle peut être mesurée par la moitié du produit des longueurs de deux côtés par le sinus de l'angle formé en leur point commun (démonstration en page de loi des sinus).

Par conséquent, \(\mathscr{A} = \frac{ab \sin \widehat{A}}{2} + \frac{cd \sin \widehat{C}}{2}.\)

Or, deux angles opposés d’un quadrilatère inscriptible sont supplémentaires. Ils ont donc le même sinus.

\(\mathscr{A} = \frac{ab \sin \widehat{A}}{2} + \frac{cd \sin \widehat{A}}{2}\)
\(⇔ \mathscr{A} = \frac{\sin \widehat{A}}{2}(ab + cd)\)

Élevons les membres de cette égalité au carré.

\(\mathscr{A}^2 = \frac{\sin^2 \widehat{A}}{4} (ab + cd)^2\)
\(⇔ 4\mathscr{A}^2 = \sin^2 \widehat{A} (ab + cd)^2\)

Il est temps d’appeler la fameuse formule \(\sin^2 \widehat{A} + \cos^2 \widehat{A} = 1\)

\(4 \mathscr{A}^2 = (1 - \cos^2 \widehat{A})(ab + cd)^2\)
\(⇔ 4\mathscr{A}^2 = (ab + cd)^2 - (ab + cd)^2 \cos^2 \widehat{A}\) (1)

Nous réutiliserons cette égalité un peu plus loin. D’ici là, appliquons à chaque triangle le théorème d’Al Kashi.

\(BD^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \widehat{A}\)
\(BD^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos \widehat{C}\)

Donc \( a^2 + b^2 - 2ab \cos \widehat{A} = c^2 + d^2 - 2cd \cos \widehat{C}\)

Par propriété, dans un quadrilatère inscriptible \(ABCD\) nous avons \(\cos \widehat{A} = - \cos \widehat{C}.\)

\( a^2 + b^2 - 2ab \cos \widehat{A} = c^2 + d^2 + 2cd \cos \widehat{A}\)
\(⇔ 2 \cos \widehat{A} (ab + cd) = a^2 + b^2 - c^2 - d^2\)
\(⇔ \cos \widehat{A}(ab + cd) = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2}\)

Revenons à notre égalité (1) en tenant compte de ce dernier résultat.

\(4 \mathscr{A}^2 = (ab + cd)^2 - \frac{(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2}{4}\)
\(⇔ 16 \mathscr{A}^2 = 4(ab + cd)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2\)

Appliquons l’identité remarquable.

\(16 \mathscr{A}^2\) \(=\) \([2(ab + cd) + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)]\) \([2(ab + cd) - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)]\) (2)

Réorganisons le premier facteur.

\(2(ab + cd) + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)\) \(=\) \(a^2 + 2ab + b^2 - (c^2 - 2cd + d^2)\)
\(= (a + b)^2 - (c - d)^2\)
\(= [(a + b) + (c - d)][(a + b) - (c - d)]\)
\(= (a + b + c - d)(a + b - c + d)\)

Revenons à l’égalité (2) et attaquons-nous au second facteur.

\(2(ab + cd) - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)\) \(=\) \(-(a^2 - 2ab + b^2) + (c^2 + 2cd + d^2)\)
\(= -(a - b)^2 + (c + d)^2\)
\(= [(c + d) + (a - b)][(c + d) - (a - b)]\)
\(= (a - b + c + d)(-a + b + c + d)\)

Par conséquent :

\(16 \mathscr{A}^2\) \(=\) \((a + b + c - d)(a + b - c + d) (a - b + c + d)(-a + b + c + d)\)

Il nous faut à présent exprimer ce résultat avec le demi-périmètre \(s.\)

On peut par exemple remplacer \(a + b + c - d\) par \(2s - 2d.\) Les autres facteurs bénéficient du même traitement. Et donc...

\(16 \mathscr{A}^2 = 2(s - d) × 2(s - c) × 2(s - b) × 2(s - a)\)
\(⇔ \mathscr{A}^2 = (s - d)(s - c)(s - b)(s - a)\)
\(⇔ \mathscr{A} = \sqrt{(s - d)(s - c)(s - b)(s - a)}\)

CQFD.