Démonstration du binôme par récurrence
La démonstration du binôme de Newton est incontournable dans certains cursus d’études supérieures. Mais elle figure aussi dans le programme de terminale maths expertes, au chapitre traitant de la forme algébrique des nombres complexes. Il n’est toutefois pas nécessaire de savoir ce qu’est un complexe, ni pour utiliser le binôme, ni pour le démontrer.
Rappels
D’abord le binôme. Soit \(n\) un entier naturel.
\[{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right){a^k}\;{b^{n - k}}} \]
Cette égalité sera notée \(P(n),\) propriété à démontrer au rang \(n.\)
Pour mémoire, la formule du coefficient binomial est \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
On détermine aisément ces coefficients, même sans calculatrice, grâce au triangle de Pascal.
Il se construit à partir de la formule de Pascal, que nous retrouverons en fin de démonstration :
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {k - 1} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n + 1}\\ k \end{array}} \right)\)
Enfin, il faut connaître le raisonnement par récurrence.
Démonstration
Initialisation
Calculons le binôme pour \(n = 0.\)
D’une part \((a + b)^0 = 1\)
D’autre part \(\sum\limits_{k = 0}^0 {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
k
\end{array}} \right){a^k}\;{b^{0 - k}} = } \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0
\end{array}} \right){a^0}\;{b^0} = 1\)
Donc \(P(0)\) est vérifiée.
Hérédité
Supposons de \(P(n)\) est vraie et montrons que \(P(n+1)\) l'est aussi.
Cette propriété s’énonce ainsi :
\({\left( {a + b} \right)^{n+1}} = \sum\limits_{k = 0}^{n+1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{n+1}\\
k
\end{array}} \right){a^k}\;{b^{n+1 - k}}} \)
Transformons l’écriture du premier membre de l’égalité.
\((a + b)^{n+1} = (a + b)(a + b)^n\)
Double distributivité.
\((a + b)^{n+1} = a(a + b)^n + b(a + b)^n\)
Comme nous avons supposé \(P(n)\) vraie…
\((a + b)^{n+1}\) \(=\) \(a \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right){a^k}\;{b^{n - k}}} + b \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right){a^k}\;{b^{n - k}}}\)
\(⇔ (a + b)^{n+1}\) \(=\) \( \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right){a^{k+1}} \;{b^{n - k}}} + \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right){a^k} \; {b^{n + 1 - k}}}\)
Procédons à un changement de variable sur le premier terme. Soit \(p = k + 1.\)
\( \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right){a^{k+1}}\;{b^{n - k}}}\) \(=\) \(\sum\limits_{p = 1}^{n + 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{p - 1}
\end{array}} \right){a^{p }}\;{b^{n - p + 1}}}\)
On peut aussi bien remplacer \(p\) par \(k.\)
\(\sum\limits_{p = 1}^{n + 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {p - 1} \end{array}} \right){a^{p}}\;{b^{n - p + 1}}}\) \(=\) \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {k - 1} \end{array}} \right){a^{k }}\;{b^{n - k + 1}}}\)
Par conséquent...
\((a + b)^{n+1}\) \(=\) \(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {k - 1} \end{array}} \right){a^{k }}\;{b^{n - k + 1}}} + \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right){a^k}\;{b^{n + 1 - k}}}\)
Décomposons chacune de ces deux sommes. Dans la première, isolons le dernier terme, qui s'écrit \(1 \times a^{n+1} \times 1\) donc \(a^{n+1}.\)
\(\sum\limits_{k = 1}^{n + 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {k - 1} \end{array}} \right){a^{k }}\;{b^{n - k + 1}}}\) \(=\) \(a^{n+1} + \sum\limits_{k = 1}^{n} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {k - 1} \end{array}} \right){a^{k }}\;{b^{n - k + 1}}}\)
Dans la seconde somme, isolons le premier terme, c'est-à-dire celui pour qui \(k = 0\) et qui n'est autre que \(b^{n+1}.\)
\(\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right){a^k}\;{b^{n + 1 - k}}}\) \(=\) \(b^{n+1} + \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right){a^k}\;{b^{n + 1 - k}}}\)
Par propriété des sommes, nous pouvons écrire :
\((a + b)^{n+1}\) \(=\) \(a^{n+1} + b^{n+1} + a^k \; b^{n+1-k} \sum\limits_{k = 1}^n \left[ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {k - 1} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ {k} \end{array}} \right) \right]\)
Retrouvons la formule de Pascal, rappelée plus haut...
\((a + b)^{n+1}\) \(=\) \(a^{n+1} + b^{n+1} + a^k \; b^{n+1-k} \sum\limits_{k = 1}^n \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n+1}\\ {k} \end{array}} \right)\)
C'est presque terminé. Il nous faut remplacer les deux premiers termes, \(a^{n+1}\) et \(b^{n+1},\) par des expressions compliquées permettant ensuite une simplification.
\({a^{n + 1}} = {a^{(n + 1)}}\;{b^{(n + 1) - (n + 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{n + 1}\\
{n + 1}
\end{array}} \right)\)
Ceci équivaut à écrire :
\((a + b)^{n+1}\) \(=\) \(b^{n+1} + a^k\; b^{n+1-k} \sum\limits_{k = 1}^{n+1} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {n+1}\\ {k} \end{array}} \right)\)
Ensuite
\({b^{n + 1}} = {a^0}\;{b^{(n + 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{n+1}\\
{0}
\end{array}} \right)\)
Ceci permet la réintroduction du premier terme de la somme.
\((a + b)^{n+1}\) \(=\) \(a^k \;b^{n+1-k} \sum\limits_{k = 0}^{n+1} \left({\begin{array}{*{20}{c}} {n+1}\\ {k} \end{array}} \right)\)
Eh oui, c'est terminé ! Nous avons démontré \(P(n+1)\) et donc la formule du binôme !
