Loi de probabilité, variable aléatoire, espérance
Dans les programmes scolaires français, l’expression « loi de probabilité » n’est en principe employée qu’à partir de la classe de première bien que la modélisation d’expériences aléatoires sous forme de tableau fasse déjà l'objet d'exercices en seconde. Les élèves de première qui abordent le chapitre sur les probabilités peuvent donc coller un nom sur une pratique déjà rencontrée dans bon nombre d’exercices avant d’aller plus avant. Si vous êtes de ceux-là, il est recommandé de vous rafraîchir préalablement la mémoire en page d'initiation aux probabilités afin de réviser le vocabulaire si particulier de ce très riche domaine des mathématiques, puis de lire ce qui suit (si possible avec enthousiasme, vous retiendrez beaucoup mieux la leçon. Enfin bon, « si possible »...).
Variable aléatoire
Un autre terme qui n’est pas au programme de seconde est celui de variable aléatoire (v.a). Une variable aléatoire \(X\) est une fonction définie sur l’univers d’une expérience aléatoire qui, à chaque issue associe une réalisation (par exemple, un jet de dé qui a pour issue un nombre de 1 à 6). Elle est discrète lorsqu’elle prend un nombre fini de valeurs (ce qui est le cas du dé). Ces issues possibles sont notées \(x_1,\) \(x_2,\) \(…\) \(x_i,\) \(…\) \(x_n.\) Le concept de v.a n’étant pas facile à maîtriser, illustrons-le par un exemple.
À partir d'un tableau...
Soit un jeu de hasard qui consiste à lancer un octaèdre régulier (solide à huit faces égales). Celui-ci comporte une face qui rapporte 4 points, deux faces qui rapportent 2 points et cinq faces qui ne rapportent rien. La loi de probabilité est résumée dans le tableau ci-dessous.
| \(x_i\) | 0 | 2 | 4 |
| \(P(X = x_i)\) | 0,625 | 0,25 | 0,125 |
Comment le lit-on ? La probabilité que la v.a \(X\) prenne la valeur 0 est de 0,625. etc. Vous l’avez deviné, les probabilités ont été obtenues très simplement : 0,125 correspond à une chance sur huit, soit \(\frac{1}{8}.\)
Par prudence, on vérifie toujours sur un tel tableau que la somme des probabilités est bien égale à 1 (voir les exercices de modèles de probabilité).
Nous pouvons à présent définir ce qu'est une loi de probabilité : la loi de probabilité de la v.a \(X\) est la fonction qui à chaque issue \(x_i\) lui associe sa probabilité, notée \(P(X = x_i).\)
Autre terme incontournable, celui d’espérance mathématique. Il s’agit d’une moyenne pondérée par des probabilités. Elle se note \(E(X).\)
\(E(X)\) \(=\) \((p_1 × x_1)\) \(+\) \((p_2 × x_2)\) \(+\) \(…\) \(+\) \((p_n × x_n)\)
En l’occurrence, \(E(X)\) \(=\) \((0 × 0,625)\) \(+\) \((0,25 × 2)\) \(+\) \((0,125 × 4\) \(=\) \(1.\) Quelle est l’interprétation de ce résultat ? Si l’on joue un grand nombre de fois, on gagne en moyenne un point par partie.
L’espérance a les mêmes propriétés que la moyenne. À l’instar d’une série statistique, une loi de probabilité a aussi une variance et un écart-type.
Exercice 1
Soit la loi de probabilité suivante...
| \(x_i\) | \(y\) | 10 | 15 |
| \(P(X = x_i)\) | 0,5 | 0,25 | \(p\) |
Sachant que \(E(X) = 8,75,\) déterminer \(y\) et \(p.\)
Exercice 2
Un joueur paie \(y\) euros pour participer à un jeu de hasard. Il lance deux dés. Si la somme des deux valeurs obtenues est égale à 6, il empoche 72 euros, sinon rien.
Déterminer la loi de probabilité du gain algébrique du joueur puis calculer \(y\) pour que le jeu soit équitable.
Corrigé 1
Il est facile de déterminer \(p\) : \(1 - 0,5 - 0,25 = 0,25\)
De là, on trouve \(y\) à partir de l’espérance.
\((0,5 × y) + (0,25 × 10) + (0,25 × 15)\) \(=\) \(8,75\)
\(⇔ 0,5y + 2,5 + 3,5\) \(=\) \(8,75\)
\(⇔ y = 5\)
Corrigé 2
Cet exercice permet de rencontrer deux notions qui hantent les manuels de maths : le gain algébrique, qui est le bénéfice ou la perte réalisée (en comptabilité, on appelle ça un résultat) et un jeu équitable qui est un jeu dont l’espérance de gain est nulle.
On remarque que les valeurs \(x_i\) sont exprimées en EUROS (il ne s’agit surtout pas des nombres obtenus avec les dés !).
Pour connaître la probabilité d’obtenir 6, il est pratique de construire le tableau qui croise les valeurs obtenues par chaque dé pour en déterminer le total (en clair, le début d'une table d'addition).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Comme tous les évènements sont équiprobables, il suffit de compter les cases : il y en a 5 sur 36 qui indiquent 6. Donc, la probabilité d’obtenir un total de 6 s’établit à \(\frac{5}{36}.\) Le tableau détaillant les probabilités d'obtenir les différentes sommes n'était pas demandé mais on peut toujours l'indiquer...
| \(x_i\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| \(p_i\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
Par conséquent, la loi de probabilité peut être présentée ainsi :
| \(x_i\) | \(-y\) | \(72 - y\) |
| \(P(X = x_i)\) | \(\frac{31}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) |
Dans la majorité des cas, le joueur perd sa mise. Son « gain » algébrique est de \(-y.\)
À présent, déterminons \(y\) pour que \(E(X) = 0.\)
\(\left[\frac{31}{36} × (-y)\right] + \left[\frac{5}{36} × (72 - y)\right]\) \(=\) \(0\)
\(⇔ -\frac{31y}{36} + \frac{360}{36} - \frac{5y}{36}\) \(=\) \(0\)
Passons les détails des calculs. Vous avez de toute façon trouvé \(S = \{10\}.\) Il faut payer 10 € le droit de jouer pour que ce jeu soit « équitable ».
Autres exercices de niveau première : voir l'ex. 1 de la page d'exercice d'initiation et les simulations d'une loi de probabilité.
