Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La rente en progression géométrique

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Rentes en progression géométrique (discrètes et continues)

Cette page démontre une formule de rente en progression géométrique, c’est-à-dire du placement à un taux d'intérêt composé fixe d’une suite d’annuités qui elles-mêmes évoluent d’un pourcentage toujours identique. Après avoir détaillé le cas du taux discret, nous verrons quelles formules appliquer pour un calcul en temps continu.

Taux discret

Cherchons quelle peut être la valeur ACQUISE d’une suite de n annuités, chacune d'elles étant d'un montant égal à celui de l'annuité précédente, majorée ou minorée par un même taux g. Chaque annuité perçue est aussitôt placée à un taux d’intérêt i. Soit a1 le montant de la première annuité. C’est donc le premier terme d’une suite géométrique de raison q = 1 + g.

Rappelons qu’une valeur acquise est le cumul des annuités et des intérêts qu’elles ont produits. En l’occurrence, son expression est d’une écriture un peu longue puisqu’elle est composée d’annuités différentes affectées d’un taux d’intérêt qui court chaque fois sur une période différente.

écriture développée

Évidemment, il nous faut simplifier ce monstre…

La factorisation par a1 est évidente mais elle serait incomplète pour nous amener à une formule intéressante. Il faut aussi factoriser par (1 + i)n-1.

factorisation

C’est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme a1(1 + i)n-1 et de raison q / (1 + i). Au risque de paraître un peu lourd, je vous la réécris de façon à le faire apparaître de manière encore plus évidente…

réécriture

On peut dès lors utiliser la formule de la somme des n premiers termes d’une suite géométrique.

avec formule de la somme

Il est encore possible de simplifier.

étape suivante

Bon d’accord, ce n’est pas plus simple. Mais attendez la suite.

étape suivante

étape suivante

valeur acquise

Voici donc la forme « épurée ».

À présent, passons sans démonstration à la valeur ACTUELLE. Celle-ci se présente ainsi (k est le taux d’actualisation) :

valeur actuelle

Compte tenu de la complexité de la formule, vous pouvez la trouver réécrite de plusieurs façons différentes selon les manuels.

Si gk, la valeur actuelle d’une rente PERPÉTUELLE à progression géométrique est :

actuelle perpétuelle

Mais elle est indéterminée si g ≥ k.

Cas particuliers :

Si g = i, alors…

si g = i

V0 si g = i

Si g = 0, alors vous pouvez vérifier que l’on retombe bien sur les formules de la rente à annuités constantes.

Taux continu

On parle dans ce cas de rente à densité exponentielle.

Soit une fonction exponentielle du temps a(t) = αeλt qui représente le flux continu des versements. Soit un taux continu j appliqué à l’unité de temps t. La valeur acquise entre les temps 0 et θ s’obtient par une intégrale.

valeur acquise

Quant à la valeur actuelle…

valeur actuelle

 

formules de rentes

 

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