Rente à versements constants
Chapitre incontournable des cours de mathématiques financières ! Qu’appelle-t-on une rente ? C’est une suite de flux financiers périodiques qui ne suppose pas l’existence d’un capital de départ. Par exemple, il peut s’agir de loyers (ou même d’une sous-location, ce qui permet d’évacuer complètement la notion d’investissement).
Les rentes
Ces versements ont lieu à périodicité fixe quoique dans le cadre d’une modélisation il est parfois utile de raisonner en temps continu (voir le temps continu). Ici, nous n’envisagerons que les situations pratiques, c’est-à-dire le cas discret. Les versements ont lieu soit à terme échu soit en paiement d’avance (terme à échoir).
Une rente peut être temporaire (bail, pension alimentaire…) ou perpétuelle, c’est-à-dire ne jamais se terminer. En France, différents produits d'épargne permettent de bénéficier d'une rente à compter du départ à la retraite (Perp, Perco...).
Si les annuités sont toutes du même montant, on parle de rente constante. C’est d’ailleurs cette situation qui est détaillée ci-dessous. Mais il faut savoir que d’autres types de rentes existent, notamment progressives (arithmétiques ou géométriques).
Bien sûr, leur étude nécessite un calcul actuariel dès lors qu’une valeur actuelle est cherchée. 100 euros perçus dans dix ans sont beaucoup moins intéressants que 100 euros reçus tout de suite.
Une rente est différée si la date d'origine précède le premier versement d'au moins deux périodes. Sinon, on parle de rente immédiate.
Soit une annuité constante égale à \(a,\) un taux d'actualisation \(k\) et un taux d’intérêt composé \(i.\) Voyons comment déterminer une valeur acquise et une valeur actuelle de la rente.
D’abord une petite précision. Les ouvrages de maths financières ne distinguent pas \(i\) et \(k.\) Nous considérons ici que \(i\) est un taux connu, déjà appliqué, tandis que \(k\) est un taux d’actualisation estimé. Ceci ne change rien aux calculs. Si l’on ne retient qu’un taux \(i,\) la valeur acquise \(V_n\) est de toute façon liée à la valeur actuelle \(V_0\) par la relation \(V_n = V_0 (1 + i)^n\) on voit bien que cela revient au même.
Valeur acquise
C’est la somme d’argent qui cumule toutes les annuités perçues jusqu’à présent sachant qu’elles ont été placées à intérêts composés.
À terme échu, nous avons (de l’annuité la plus récente à la plus ancienne) :
\(V_n\) \(=\) \(a\) \(+\) \(a(1+i)^1\) \(+\) \(a(1+i)^2\) \(+\) \(...\) \(+\) \(a(1+i)^{n-1}\)
Il n’est pas très difficile de remarquer que la formule fait apparaître la somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique de raison \(1 + i\) et de premier terme \(a.\) En effet, si l'on place \(a\) en facteur :
\(V_n\) \(=\) \(a[(1+i)^0\) \(+\) \(1+i)^1\) \(+\) \((1+i)^2\) \(+\) \(...\) \(+\) \((1+i)^{n-1}]\)
Soit, avec la formule connue depuis la classe de première…
\(V_n = a \times \frac{1-(1+i)^n}{1 - (1+i)}\)
\(\Leftrightarrow V_n = a \frac{(1+i)^n - 1}{i}\)
Si le terme est à échoir, il faut ajouter une période et donc multiplier \(V_n\) par \(1 + i.\)
\(V'_n = a \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)\)
Exemple : un père de famille verse 100 € chaque fin de mois sur le compte de sa fille, à compter du quinzième anniversaire de celle-ci et ceci jusqu’à sa majorité (18 ans). Le compte est rémunéré à un taux annuel de \(2\%\) et les intérêts sont versés chaque mois. De quel pactole la jeune fille disposera-t-elle lors du dernier versement ?
Réponse : 36 mensualités de 100 € sont prévues. Calculons d'abord le taux équivalent sur un mois.
\(i_{12}\) \(=\) \((1 + 0,02)^{\frac{1}{12}} - 1\) \(=\) \(0,16515813\%\)
Valeur acquise :
\(V_{36}\) \(=\) \(100 \times \left(\frac{1,0016515813^{36} - 1}{0,0016515813} \right)\) \(=\) \(3\,706,02\) €
Remarquons que cette somme comprend 106,02 € d’intérêts.
Vous trouverez un autre exemple, avec utilisation d’Excel, en page annuités.
On peut aussi jongler avec la formule pour trouver \(a\) ou \(n\) (voire \(k\) avec un outil informatique).
Exemple de recherche de \(a\) : quelle annuité constante permet d’obtenir une somme de 50 000 € dans 10 ans avec un taux d’intérêt annuel de \(6\%\) (terme échu) ?
\(a\) \(=\) \(\frac{50\,000 \times 0,06}{(1 + 0,06)^{10} - 1}\) \(=\) \(2\,793,40\) €
Et si le terme était à échoir ?
Il suffit de diviser le nombre obtenu par 1,06. On trouve 3 578,68 €.
Valeur actuelle
C’est la valeur en date 0 de \(n\) annuités identiques.
\(V_0\) \(=\) \(a(1 + k)^{-1}\) \(+\) \(a(1 + k)^{-2}\) \(+\) \(...\) \(+\) \(a(1 + k)^{-n}\)
Si l’on prend la formule de passage de la valeur acquise à la valeur actuelle…
\(V_0\) \(=\) \(a \frac{(1 + k)^n - 1}{k} \times (1 + k)^{-n}\) \(=\) \(a \frac{1 - (1+ k)^{-n}}{k}\)
Là aussi, plusieurs types d’exercices se présentent selon que vous devez déterminer \(V_0,\) \(a,\) \(n\) ou \(k.\)
Enfin, la traduction mathématique d’une rente perpétuelle à terme échu est une limite dont le calcul ne présente aucune difficulté.
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } a \frac{1 - (1 + k)^{-n}}{k} = \frac{a}{k}\]
Par exemple, une rente perpétuelle qui permet de recevoir 2 000 € par an avec un taux d’actualisation de \(2\%\) vaut 100 000 €. Si ce taux double (\(k = 0,04\)), \(V_0\) ne vaut plus que 50 000 €.
Si le terme est à échoir, \(V_0\) \(=\) \(\frac{a}{k} \times (1 + k).\)
