Exercice de pricing et de calcul d'un seuil de rentabilité
Voici un exercice de pricing assez simple où le niveau de la demande s’ajuste parfaitement au prix de vente.
Exercice
La société Lasso & Lasso fabrique les meilleurs lassos de l’ouest du Mississipi. L’an dernier, c’est-à-dire en 1870 (c’est vous dire si ce site web existe depuis longtemps…), il a été vendu 1 850 lassos à $2 pièce. Les coûts variables, notamment la matière première et une partie de la main d’œuvre, représentaient $1,50 par unité. Les charges fixes se sont élevées à $700. Le département des ventes, c’est-à-dire Lasso Jr lui-même, a déterminé que l’élasticité-prix était de -1,4. Toute production est immédiatement vendue.
Quel prix de vente permettrait de dégager le bénéfice le plus élevé ? À combien s’établiraient alors le chiffre d’affaires et le résultat ? À quel prix se situerait le seuil de rentabilité ?
Corrigé
En préambule, calculons pour mémoire le résultat de l’année 1870. Le montant des recettes était de \(1\,850 × 2\) \(=\) $\(3\,700\) tandis que les coûts totaux s’établissaient à \((1\,850 × 1,5) + 700\) soit \($3\,475.\) Le bénéfice est donné par la différence, soit \($225.\)
Trouvons à présent le prix optimal pour l'année 1871. C'est grâce à ce prix que nous pourrons ensuite établir quelle quantité de lassos il faut produire.
Deux inconnues sont à déterminer : les accroissements (ou la diminution) du prix \(Δp\) et de la quantité à vendre \(Δq\).
Rappelons que l’élasticité-prix est l’accroissement relatif de la quantité vendue (ou de la demande, si l’on suppose que ces deux variables s’ajustent parfaitement) rapporté à l’accroissement relatif du prix. Soit :
\[e_{q/p} = \frac{{\frac{{\Delta q}}{q}}}{{\frac{{\Delta p}}{p}}} = \frac{\Delta q}{\Delta p} \times \frac{p}{q}\]
On peut appliquer cette formule au problème de Lasso & Lasso : \(-1,4 = \frac{\Delta q}{\Delta p} \times \frac{2}{1\,850}\)
La démarche consiste d’abord à exprimer dq en fonction de dp pour n’avoir qu’une seule inconnue. Après un banal produit en croix, on obtient \(\Delta q = - 1\,295\; \Delta p.\)
Ensuite, nous allons déterminer l’expression de la fonction de résultat puis la dériver afin de connaître les coordonnées de son maximum. Elle n’est autre que la différence entre la fonction de recette et la fonction de coût. Habituellement, on fait varier une fonction de résultat avec la quantité vendue mais dans le cadre de cet exercice elle est fonction d’une variation de prix unitaire de vente.
La fonction de recette :
Le futur chiffre d’affaires sera égal à \((q + Δ q)\) \(×\) \((p + Δ p)\) donc \((1\,850 - 1\,295 \; Δ p)\) \(×\) \((2 + Δp)\) donc au trinôme \(3\,700 - 740 Δ p - 1\,292Δ p^2\)
La fonction de coût (charges fixes \(+\) \($1,50\) \(×\) futures quantités) :
\(700 + 1,5(1\,850 + Δq)\) \(=\) \(3\,475 + 1,5 Δq\)
Remplaçons l’expression \(Δ q\) par son équivalent en variation de prix : \(\Delta q\) \(=\) \(3\,475 - 1\,945 \Delta p.\)
La fonction de résultat est la différence entre les recettes et les coûts.
\(R(\Delta p)\) \(=\) \(3\,700\) \(-\) \(740 \Delta p\) \(-\) \(1\,292 \Delta p^2\) \(-\) \(3\,475\) \(+\) \(1\,942,5 \Delta p\)
\(R(\Delta p)\) \(=\) \(-1\,292 \Delta p^2\) \(+\) \(1\,202,5 \Delta p\) \(+\) \(225\)
Cette fonction du second degré admet bien un maximum et non un minimum puisque le coefficient du terme au carré est négatif. Au point maximum, la dérivée de \(R(Δp)\) s’annule.
\(R'(\Delta p) = -2\,584 \Delta p + 1\,202,5\)
Posons \(-2\,584 \Delta p\) \(+\) \(1\,202,5\) \(=\) \(0\)
Donc \(\Delta p = 0,46.\)
La fabrication de lassos ne relevant pas d’une activité philanthropique, la société Lasso & Lasso peut très sensiblement augmenter ses prix (de 46 cts). Le bénéfice le plus élevé correspond donc au prix unitaire de \($2,47\) (arrondi).
Pour quel niveau de production se situe ce bénéfice ?
Rappelons que \(Δ q = -1\,295 Δp,\) donc \(Δq\) \(=\) \(-1\,295 × 0,47\) \(=\) \(-608,65.\)
L’augmentation du prix de vente s’accompagne d’une baisse de la production qui se situera alors à \(1\,850 - 609\) \(=\) \(1\,254\) lassos.
Le chiffre d’affaires s’établira quant à lui à \(1\,254 × $2,46\) \(=\) \($3\,084,84.\)
Les coûts s’élèveront à \(700 + (1,5 × 1\,254)\) \(=\) \($2\,581.\)
Il s’ensuit que le bénéfice sera de \(3\,085 - 2\,581\) \(=\) \($504\) contre \($225\) actuellement.
On peut aussi utiliser la marge sur coût variable (\(96\) cts \(×\) \(1\,254\) lassos, soit \($1\,204\) de laquelle on retire \($700\) de frais fixes. Reste \($504.\)
Pour déterminer le seuil de rentabilité, plusieurs possibilités s’offrent à nous. Annulons la fonction de résultat puis retenons la plus faible des deux valeurs.
On calcule le discriminant \(Δ = 2\,608\,806\) (ne pas confondre avec l'accroissement \(\Delta\) !) puis les deux racines car \(Δ\) est positif. On trouve -0,16 et 1,09. Rappelons qu’il s’agit des variations d’un prix unitaire qui était au départ de $2. Donc le prix à partir duquel Lasso & Lasso dégage un bénéfice est \(2 - 0,16 = $1,84.\) En-dessous, le produit est vendu à perte. Au-delà du prix prohibitif de $3,09, la société enregistrerait également un déficit mais pour une autre raison : la demande serait insuffisante pour couvrir les frais fixes.
Nous vous proposons de produire la courbe représentative de la fonction de résultat. Il est plus parlant de représenter la courbe en fonction de \(p\) plutôt que \(Δp\) comme nous l’avons fait jusqu’à présent. C’est une simple translation puisque \(Δp = p - 2.\)
\(-1\,292(p - 2)^2\) \(+\) \(1\,202,5(p - 2)\) \(+\) \(225\)
\(= -1\,292(p^2 - 4p + 4)\) \(+\) \(1\,202,5p\) \(-\) \(2\,405\) \(+\) \(225\)
\(= -1\,292p^2\) \(+\) \(5\,168p\) \(-\) \(5\,168\) \(+\) \(1\,202,5p\) \(-\) \(2\,180\)
\(= -1\,292p^2\) \(+\) \(6\,370,5p\) \(-\) \(7\,348\)
Sur la courbe ci-dessous (réalisée sur SineQuaNon) sont indiqués le point de départ et le point optimal. Le prix unitaire figure en abscisse et le chiffre d’affaires en ordonnée. Les quantités n’apparaissent évidemment pas sur ce graphe.
