Différentes courbes de Gompertz
Mathématicien autodidacte, Benjamin Gompertz établit que le taux de mortalité est en partie dû à l’âge (fonction de Gompertz) et en partie indépendant de ce facteur (cet impact étant souvent négligeable). La fonction qu'il découvrit en 1925 permet de modéliser les situations où une population croît d'abord de façon exponentielle puis finit par se stabiliser en s’approchant d’une certaine valeur plafond.
Dans la mesure où vous ne vous trouvez pas sur un site de zoologie ou d’épidémiologie, vous vous demandez quel est l'intérêt de cette page.
Présentation
La courbe de Gompertz est une courbe de croissance en S dont le point d’inflexion arrive « plus tôt » que sur une courbe logistique. À l’instar de la loi normale, il s’agit d’une modélisation de phénomènes naturels qui s’est étendue à diverses situations observées en entreprise : diffusion d’un produit sur le marché (voir courbe de vie), courbe d’apprentissage (voir l'efficacité d’une formation), etc.
L’une des expressions de la fonction est \(f(t)=e^{\alpha \beta^t + \gamma}\)
La variable \(t\) représente le temps. \(\beta\) est compris entre 0 et 1 et \(\alpha\) est strictement négatif (du moins dans les cas qui nous intéressent). La courbe croît jusqu’à une asymptote horizontale égale à \(e^{\gamma}\). Le point d’inflexion se trouve à :
\[t = \frac{{\ln \left( { - \frac{1}{\alpha }} \right)}}{{\ln \left( \beta \right)}}\]
Note: on trouve souvent une autre expression de cette fonction, en particulier lorsqu'elle est utilisée en biologie.
Mise en pratique
Si vous observez un phénomène qui tarde un peu à démarrer puis qui explose avant de se calmer progressivement, il est utile de posséder un logiciel qui compare, par exemple, la courbe de Gompertz et la courbe logistique afin de déterminer laquelle résumera davantage l’évolution constatée et que l'on espère être la plus prédictive. Un cas habituel est celui de la mise sur le marché d’un nouveau produit (étude en pourcentage de la consommation totale pour avoir un plafonnement).
Le logiciel peut utiliser le maximum de vraisemblance pour paramétrer au mieux, puis utiliser les indicateurs d’écart pour sélectionner l’expression la plus fiable.
Exemple d’une courbe où \(\alpha = -10\), \(\beta = 0,3\) et \(\gamma = \ln 6\) (réalisation sur Sine Qua Non).
Cela dit, cette situation n’est que la plus classique. On peut très bien observer LOCALEMENT une courbe de Gompertz, dans une zone où le point d’inflexion brille par son absence. On peut aussi avoir \(\alpha\) positif (voir ci-dessous) :
Ici, \(\alpha\) a été remplacé par +1,2 et \(\gamma\) par 1. Bien que l’on ne pense pas immédiatement à Gompertz lorsqu’on découvre une courbe d’une telle configuration, reconnaissons qu’elle n’a rien de très exotique et que la fonction est applicable à bien des situations…
