Exercices avec formules d'addition et de duplication
Les formules de trigonométrie, dites d'addition et de duplication, donnent lieu à de périlleux exercices.
Préambule
Ils sont pour beaucoup d'élèves un casse-tête car l'enchaînement des étapes de calcul repose sur des choix parfois difficiles entre plusieurs formules (qu'il faut bien sûr apprendre !) et une bonne connaissance du cercle trigonométrique (c'est-à-dire des sinus et cosinus de \(\frac{\pi}{2},\) \(\frac{\pi}{3},\) \(\frac{\pi}{4},\) et \(\frac{\pi}{6}\)). On s'éloigne donc sensiblement des habituelles équations qui, jusque là, se résolvaient peu ou prou en pilotage automatique avec un minimum d'entraînement.
Ci-dessous, trois exercices vous sont proposés. Non seulement les corrigés sont détaillés, mais ils comprennent des indications utiles entre chaque étape de calcul. Dans tous les exercices, on notera \(k\) un entier relatif quelconque tandis que \(a,\) \(b,\) \(x\) et \(y\) sont des réels.
Rappels :
\(\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)\)
\(\cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)\)
\(\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\)
\(\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)\)
\(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin^2(x)\)
\(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\) \(= 2\cos^2(x) - 1\) \(=1 - 2\sin^2(x)\)
Exercices
Exercice 1
Résoudre l'équation suivante :
\(\cos^2(x) - \sin^2(x) = 0,5\)
Exercice 2
À quoi peut bien être égale l’expression \(\cos(3x) + 3\cos(x)\) ?
Exercice 3
Montrer que \(\sin^2(a+b) + \cos^2(a - b)\) \(= 1 + \sin(2a) \sin(2b).\)
Corrigés
Corrigé 1
Formule de duplication : on sait que \(\cos(2x) = \cos^2(x) -\sin^2(x),\) donc on peut écrire \(\cos(2x) = 0,5.\)
De quel(s) nombre(s) le cosinus est-il égal à 0,5 ? C'est une question de cours.
Réponse : c'est le cosinus de \(\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) et de \(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) qui est égal à 0,5.
Par conséquent :
\(x = \frac{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2}\) ou \(x = \frac{\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2}\)
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi \,;\frac{\pi }{6} + k\pi } \right\}\)
Corrigé 2
Pour employer les formules, on doit manipuler le cosinus de \(2x\) (duplication) ou d’une somme (addition). La priorité est donc de faire disparaître ce \(3x\) disgracieux…
\(\cos(3x)+3\cos(x)\) \(= \cos(2x+x) + 3\cos(x)\)
On peut alors utiliser la première des formules d’addition.
\(\cos(3x) + 3\cos(x)\) \(= \cos(2x)\cos(x)\) \(- \sin(2x)\sin(x) + 3\cos(x)\)
À présent faisons intervenir les deux formules de duplication.
\(=(\cos^2(x) - \sin^2(x))\cos(x)\) \(- 2\cos(x)\sin(x)\sin(x) + 3\cos(x)\)
\(= \cos^3(x) - \sin^2(x)\cos(x)\) \(- 2\sin^2(x)\cos(x) + 3\cos(x)\)
\(= \cos^3(x) - 3\sin^2(x)\cos(x) + 3\cos(x)\)
Supprimons les sinus grâce à la première formule (soit \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\)).
\(= \cos^3(x) - 3(1 - \cos^2(x))\cos(x) + 3\cos(x)\)
\(= \cos^3(x) - 3\cos(x) + 3\cos^3(x) + 3\cos(x)\)
\(= 4\cos^3(x)\)
Corrigé 3
On utilise d’abord les formules d’addition dans le premier terme, soit :
\((\sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a))^2\) \(+\, (\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b))^2\)
Prenons notre courage à deux mains et développons ces identités remarquables.
\(\sin^2(a)\cos^2(b)\) \(+\, 2\sin(a)\cos(b)\sin(b)\cos(a)\) \(+\, \sin^2(b)\cos^2(a)\) \(+\, \cos^2(a)\cos^2(b)\) \(+\, 2\cos(a)\cos(b)\sin(a)\sin(b)\) \(+\, \sin^2(a)\sin^2(b)\)
\(= \sin^2(a)\cos^2(b)\) \(+\, \sin^2(b)\cos^2(a)\) \(+\, \cos^2(a)\cos^2(b)\) \( +\,\sin^2(a)\sin^2(b)\) \(+\, 4\sin(a)\cos(a)\sin(b)\cos(b)\)
Faisons apparaître des \(\sin^2(a) + \cos^2(a)\) pour les remplacer ensuite par 1.
\(= \cos^2(b)(\sin^2(a) + \cos^2(a))\) \(+ \,\sin^2(b)(\cos^2(a) + \sin^2(a))\) \(+ \,4\sin(a)\cos(a)\sin(b)\cos(b).\)
\(= \cos^2(b) + \sin^2(b) + 4\sin(a)\cos(a)\sin(b)\cos(b)\)
\(= 1 + 4\sin(a)\cos(a)\sin(b)\cos(b)\)
C’est au tour d’une formule de duplication d’intervenir.
\(= 1 + (2\sin(a)\cos(a))\) \((2\sin(b)\cos(b))\)
\(= 1 +\sin(2a)\sin(2b)\)
Le tour est joué.
