Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La loi de Fisher

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Loi de Fisher-Snedecor

Bon, ce n’est pas cette loi de probabilités qui enthousiasme les foules et qui pousse la jeunesse à se ruer dans une filière statistique. Et pourtant…

Il est vrai qu’on ne s’amuse pas à comparer la distribution d’une population observée à la fonction de densité d’une loi de Fisher-Snedecor. Les quelques modèles habituels suffisent (loi normale, log-normale, loi de Poisson…). Non, l’utilité est tout autre.

Cette loi est celle du rapport de deux variables aléatoires (v.a) INDÉPENDANTES suivant chacune une loi du khi² et divisées par leur nombre de degrés de liberté (ddl). Il fallait la trouver, celle là…

On résume : pour une v.a X qui suit une loi du χ² à n1 ddl et une v.a Y qui suit une loi du χ² à n2 ddl...

F

En pratique, l'expression de la fonction de densité ne sert pas à grand chose mais je la trouve particulièrement décorative (il existe d'autres expressions équivalentes) :

fonction de densité

Exemple de courbe représentative d'une densité de probabilité (réalisée sur Gretl) :

distribution de Fisher

La loi de Fisher-Snedecor est tabulée. Les tables sont d'ailleurs très copieuses...

L’espérance ne dépend pas de n1, ce qui peut sembler étonnant. Elle est égale à n2 / (n2 – 2).

La variance se calcule ainsi (là aussi, la formule est juste là pour faire joli, on n’en a guère besoin en pratique…) :

variance

On le voit, elle n'existe que si n2 est au moins égal à 5.

Le mode :

mode

Restons encore un bref instant dans la théorie pour signaler que le carré d'un t de Student à n ddl suit une distribution du F(1 ; n).

Vous vous demandez peut-être « à quoi peut bien servir un truc pareil ? »

Question légitime. Ce truc sert à tester si des variances sont égales car le numérateur et le dénominateur de F peuvent représenter deux variances. On a bâti sur cette distribution le test du F (ou test de Fisher-Snedecor), utilisé entre autres pour la comparaison de variances et, indirectement, dans le cadre de l’ANOVA.

 

extra-terrestres

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés