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(et fondements mathématiques)

Le lissage de Winters (schéma additif)

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Lissage de Winters sur schéma additif

Le lissage de Winters a l’avantage d’intégrer la saisonnalité, au contraire du lissage simple (LES), du lissage double (LED) et de celui de Holt qui sont des méthodes extrapolatives de séries chronologiques désaisonnalisées (CVS) sur lesquelles on applique une éventuelle saisonnalité, postérieurement au lissage.

Sa compréhension suppose une bonne maîtrise du lissage de Holt : établissement d’une fonction localement linéaire dont la pente et le niveau sont tous deux estimés à partir de réalisations passées et de prévisions. Ces dernières sont établies à l’aide de constantes de lissage alpha et gamma (ces appellations ne sont pas normalisées et varient selon les auteurs et les logiciels).

Au diable l’avarice, nous utilisons maintenant TROIS constantes de lissage ! On ajoute en effet un coefficient saisonnier, qu’on appelle delta. Ces constantes sont en principe déterminées par le logiciel de prévision, de façon à minimiser les carrés des écarts entre prévisions et réalisations (nécessite un bon matériel informatique ! Si l’on choisit un pas de 0,1, on obtient 113 = 1 331 calculs par article !). Précisons tout de même que les logiciels dédiés à la prévision ne se contentent pas du seul critère du carré des écarts.

Qui dit saisonnalité dit schéma de décomposition, additif ou multiplicatif. Nous voyons ici l’additif, le multiplicatif faisant l’objet d’une autre page avec le même exemple.

La présentation est la suivante :

Winters additif

La pente et le niveau sont calculés de la même façon qu’avec un lissage de Holt mais le niveau est appliqué à une donnée CVS.

Sur des données à périodicité mensuelle ou trimestrielle, le plus simple est d’initier b avec la moyenne arithmétique des valeurs observées la première année. On obtient une valeur sans saisonnalité. La pente est par défaut initiée à 0.

Les valeurs de la composante saisonnière s sont également calculées avec la technique du lissage. Nous sommes donc en présence de trois relations de récurrence (quatre en comptant la prévision totale), comme l’exemple ci-dessous le détaille :

tableau explicatif

Données trimestrielles, α = 0,4, γ = 0,2 et δ = 0,5.

Sur la ligne 4, les valeurs de a et de b ont été initialisées comme indiqué plus haut. Les quatre premières valeurs de s sont la différence entre la moyenne de la première année (62,975 = (61,5 + 63,2 + 55,8 + 71,4) / 4) et les observations 1, 2, 3 et 4.

Les détails de calcul des cellules bleues sont les suivants :

66,375 = 0,4 (70 + 1,475) + (1 – 0,4) (62,975 + 0)

La différence par rapport au lissage de Holt apparaît dans la première partie de l’addition : on retire de l’observation (70) la saisonnalité estimée pour la même période de l’année d’avant (-1,475).

0,680 = 0,2 (66,375 – 62,975) + 0 (1 – 0,2)

Rien de nouveau depuis Holt…

Le calcul de 0,225 est un peu particulier car il ne s'applique qu'aux quatre premiers trimestres (en l'occurrence 63,2 – 62,975). L'année suivante : 1,075 = 0,5 (70 66,375) – 1,475 (1 – 0,5).

On voit que la composante saisonnière est filtrée de façon classique : le coefficient de pondération delta est appliqué à une observation désaisonnalisée et le coefficient (1 – δ) pondère le coefficient saisonnier estimé sur le même trimestre de l’année précédente.

Prévision de 67,280 = 66,375 + 0,680 + 0,225.

Les cases grisées indiquent les prévisions établies à la période 16. Le niveau est de 86,919 pour toutes les prévisions, que l’on incrémente de 1,633 pour chaque trimestre et auquel on ajoute la saisonnalité du dernier trimestre correspondant.

100,177 = 86,919 + (4 × 1,633) + 6,725 aux arrondis près.

Le graphique permet d’apprécier une prévision de bonne facture…

Prévisions sur graphe

En pratique, il est toutefois rare d’utiliser un tableur. Sur la page Lissage de Holt, je montre l’exemple de SPSS qui permet de choisir les paramètres les mieux calibrés en comparant les meilleures combinaisons. Minitab ne permet pas cette option mais il initialise les composantes de façon efficace et les résidus sont particulièrement faibles :

Sortie Minitab

Graphr Minitab

 

prévisions

 

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