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(et fondements mathématiques)

Le lissage exponentiel de Holt

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Lissage de Holt et exemple sur SPSS

Les méthodes de lissage exponentiel permettent de prolonger une série chronologique en vue de prévisions à court terme. On utilise le lissage exponentiel simple (LES) lorsqu’il n'existe aucune tendance, même courte. Mais bien souvent  il y en a une, et ce sont le lissage double (LED) ou surtout le lissage de Holt qui viennent à notre rescousse, voire le lissage de Winters en cas de saisonnalité.

Pour le prévisionniste, le lissage de Holt est une version améliorée du LED (alors que mathématiquement, c’est le LED qui est un cas particulier du lissage de Holt).

Cette sophistication s’accompagne d’une connaissance en principe plus fine du sujet à traiter puisqu’il ne faut plus estimer UN paramètre alpha (techniques du LES et du LED) mais DEUX : alpha et gamma (on peut les choisir empiriquement ou procéder à une optimisation).

Tout comme le LED, le lissage de Holt permet d’établir une fonction de prévision linéaire. Et si les formules ne peuvent plus être présentées de façon simplifiée, leur compréhension n’a rien d’insurmontable.

Pour un horizon h, on utilise donc :

Lissage de Holt

Le niveau (à défaut d’un terme plus approprié…)

C’est une moyenne pondérée entre deux estimations de constante à l’origine : d’une part celle qui est issue de la dernière observation, d’autre part celle qui avait été prévue. Le premier paramètre à choisir (α, compris entre 0 et 1) est donc celui qui va pondérer ces deux niveaux.

Niveau

La pente

Là encore, on a une moyenne pondérée entre deux estimations, deuxième relation de récurrence. On détermine un coefficient γ, compris entre 0 et 1, et on applique cette pondération à la dernière estimation de pente observée, c’est-à-dire à la différence des deux niveaux en t et – 1. Il nous reste 1 – γ de pondération à appliquer. À qui ? À notre précédente estimation de pente, bien sûr...

Pente

Sur tableur

Tableau pour lissage de Holt

Les coefficients α et γ ont été choisis empiriquement. La série est initialisée à 0 pour la pente et à la première valeur (soit 220) pour le niveau.

Les colonnes a et b ont été calculées à partir des formules ci-dessus. Ainsi, pour décembre :

238,18 = (0,4 × 239) + (1 – 0,4) (236,66 + 0,97)

1,30 = 0,6 (238,18 – 236,66) + 0,97 (1 – 0,6)

La prévision est la somme des valeurs a et b de la ligne précédente.

Choix des paramètres sur SPSS

Bien sûr, en principe, on commence par là.

Si l’on choisit un pas de 0,1 pour α et pour γ qui sont compris entre 0 et 1, nous avons le choix entre 11² = 121 possibilités. Sur une seule série, le calcul est rapide mais un double choix sur des milliers d’articles devient vite gourmand en traitement informatique et des pas moins fins (0,2 par exemple) s’avèrent nécessaires.

Pour revenir à notre exemple : sur SPSS, cliquer sur Time Series puis sur Exponential Smoothing…, sélectionner la série et choisir le modèle Holt. Cliquer sur Parameters… Sur le menu des paramètres, sélectionner Grid search aussi bien pour α que pour γ. On conserve les paramètres par défaut, à savoir 0,1 pour α et 0,2 pour γ. Dans Initial value, entrer la première valeur pour Starting, c’est-à-dire 220, et 0 pour Trend.

Résultat :

Holt avec SPSS

En se fondant sur le critère de la somme des carrés des erreurs, le meilleur modèle est celui qui utilise une valeur de 0,4 pour α et pour γ. Reste à revoir la ou les prévisions avec ces paramètres…

 

boule de cristal

 

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