Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Trois exercices d'initiation aux intervalles de confiance

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Intervalles de confiance au bac (STMG et ES)

Bienvenue sur cette page d’exercices corrigés qui vous permettra de vous entraîner sur les intervalles de confiance. Ils sont issus d’épreuves de bacs STMG et ES. Bon courage.

Exercice 1 : d’après bac STMG, Antilles-Guyane, juin 2017

Le gérant d’une brasserie souhaite faire passer le prix du menu à 15,90 €. Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif. Il réalise un sondage auprès des clients présents le midi ce jour-là. Sur les 50 personnes interrogées, 39 se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif.

Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion de clients favorables à ce changement (on arrondira les bornes de l’intervalle à 0,01).

cassoulet

Exercice 2 : bac ES, Antilles-Guyane, juin 2017

Cette question faisait partie d’un QCM (questionnaire à choix multiple).

Un article de journal affirme qu’en France, il y a 16 % de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l’échantillon de la population française à étudier qui permettrait d’obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à 0,1 au niveau de confiance de 0,95. La taille de l’échantillon est :

a. 30
b. 64
c. 100
d. 400

Exercice 3 : bac ES, Asie juin 2016

Dans ce qui suit, les résultats approchés sont arrondis au millième.

Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l’industrie informatique (…).

On considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 94 clés sont sans défaut.

Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.

Corrigé 1

Exercice très classique. Commençons par calculer la fréquence observée dans l’échantillon.

f = 0,78

Si pour un échantillon de taille n le niveau de confiance est de 0,95, alors la proportion p sur la population entière se situe dans l’intervalle de confiance :

intervalle de confiance

Par conséquent :

intervalle

En arrondissant, nous obtenons I = [0,64 ; 0,92]. Au seuil de 95 %, la proportion de clients favorables au changement de prix se situe entre 0,64 et 0,92.

Corrigé 2 (taille d’échantillon)

L’énoncé comporte un petit piège : il n’est pas utile de connaître la proportion de 16 %. La résolution rappelle un type d’exercice de niveau seconde, sauf qu’il s’agissait alors de déterminer un intervalle de fluctuation.

La formule de l’intervalle de confiance au seuil de 0,95 a été rappelée à l’exercice précédente mais enfonçons le clou :

intervalle de confiance

Par conséquent, l’amplitude de l’intervalle est :

A = 2 / racine de n

Nous cherchons une amplitude égale à 0,1. Attention, n est un entier et on ne peut pas affirmer qu’il existe un entier pour lequel on obtiendra un intervalle de 0,1 exactement. Nous devons donc poser une inéquation. Nous cherchons un entier tel que :

2 / racine de n <= 0,1

n est strictement positif et la fonction inverse est strictement décroissante sur R+*. Donc :

inéquation

racine de n >= 20

Il fallait répondre d : n = 400.

Corrigé 3

Le problème de cet exercice est qu’il peut être résolu de deux façons qui ne donnent pas le même résultat.

Voyons d’abord ce qui était attendu. C’est la résolution la plus simple, celle qui rappelle l’exercice 1.

La fréquence observée est égale à 94 / 100, soit 0,94.

L’effectif de l’échantillon s’établit à 100. La racine carrée est donc 10 et l’inverse de la racine carrée est 0,1.

Un premier calcul conduit à un intervalle I = [0,94 – 0,1 ; 0,94 + 0,1] soit [0,84 ; 1,04]. Or la borne supérieure est plus grande que 1. C’est impossible puisqu’il s’agit d’une probabilité.

Par conséquent l’intervalle de confiance est [0,84 ; 1].

La deuxième façon de résoudre l’exercice est d’utiliser une formule qui a pu être donnée en cours ; mais le programme officiel est assez flou sur ce sujet et ladite formule n'est mentionnée qu'à titre de remarque (voir page initiation aux intervalles de confiance). Rappelons-la :

intervalle

Ceci conduit à un intervalle plus précis de [0,893 ; 0,990] (arrondi au millième).

 

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés