Exemple d'emprunt renégocié
Le remboursement anticipé d’un emprunt ou la négociation d’un nouveau taux ne présentent aucune spécificité théorique. C’est pourquoi nous nous contenterons ici de résoudre un exercice.
Celui-ci est issu de l’épreuve n°10 du DECS (ancêtre du DCG) de 1986, époque lointaine où l’on appliquait des taux astronomiques à des montants en francs afin d’obtenir un diplôme qui n’existe plus. Nous n’avons toutefois pas reproduit l’extrait des tables financières qui était joint à l’énoncé, la nostalgie ayant tout de même quelques limites.
Cet exercice vintage est surtout un prétexte pour réunir quelques notions expliquées par ailleurs sur ce site.
Énoncé
- L’entreprise H a contracté un emprunt de 10 millions de F à la date du 15 septembre 1981, taux annuel d’intérêt : \(15\%,\) amortissement au moyen d’échéances annuelles constantes. Première échéance : 15 septembre 1982 ; dernière échéance : 15 septembre 1993.
- Les taux d’intérêt ayant sensiblement baissé, l’entreprise H envisage de rembourser l’emprunt par anticipation. Date du remboursement anticipé : 16 septembre 1986, l’annuité de la veille ayant été normalement versée. L’entreprise doit disposer de la somme qui lui permettra le remboursement anticipé du montant résiduel de sa dette après remboursement de l’annuité du 15 septembre 1986, augmenté d’une pénalité de \(4,2\%\) sur le montant de ce remboursement anticipé.
- Travail à faire :
- 1- Calculer la somme totale dont l’entreprise a besoin pour faire face à la décision prise.
- 2- L’entreprise contacte à la même date du 16 septembre 1986 un emprunt de nominal égal au montant précédent arrondi aux 10 000 F supérieurs, taux annuel d’intérêt : \(11\%,\) amortissement au moyen de 7 annuités constantes, la première versée le 16 septembre 1987.
- En comparant les annuités respectives des premier et second emprunts, appréciez l’opportunité de la décision de remboursement anticipé prise par l’entreprise H.
Éléments de correction
La première question consiste à déterminer le capital restant dû après la cinquième annuité (sur douze) et à le majorer de la pénalité. Les annuités constantes comprennent des intérêts composés à retirer pour connaître le montant du capital déjà remboursé. Ce serait évidemment plus simple avec un système d’amortissements constants...
Il existe tant de façons de déterminer la somme cherchée, avec un tableau ou avec des formules, que j’ai du mal à opérer une sélection ! Voici une technique manuelle puis une utilisation de logiciel.
Commençons par la méthode la plus « matheuse », à savoir l’utilisation d’une suite géométrique. On calcule préalablement le montant d’une annuité (comme détaillé en pages de remboursement d’emprunt obligataire et d'emprunt à annuités constantes).
\[a = \frac{iK}{1 - (1 + i)^{-n}} = \frac{1\,500\,000}{i - 1,15^{-12}}\]
D'où \(a = 1\,844\,807,76.\)
Quelle est la part d’intérêt ? \(15\%\) de 10 millions, ce qui laisse un capital remboursé de 344 807,76 F. C’est le premier terme d’une suite géométrique de raison 1,15. Appliquons alors la formule de la somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique (en l’occurrence les 5 premiers termes).
\[\mathscr{1^{er}\; terme} \times \frac{1 – q^{\mathscr{nombre\; de\; termes}}}{1-q}\]
Ce qui nous donne 2 324 825,38. Si l’on ôte ce capital remboursé de 10 millions, on constate qu’il reste 7 675 174,64 F. L’entreprise H a donc besoin de cette somme majorée de \(4,2\%\) :
\(7\,675\,174,64 × 1,042\) \(=\) \(7\,997\,532\) F.
Une méthode plus pragmatique consiste à entrer les valeurs dans un logiciel. Nul besoin de connaître les suites ou les mathématiques financières. Mais ce qui est presque obligatoire en entreprise est interdit à l’examen… Exemple ci-dessous avec FPU, onglet « Divers calculs de taux » puis « Capital restant ». Les sorties du logiciel sont les cases bleues.
Passons à la question 2. En tenant compte de l’arrondi demandé dans l’énoncé, l’emprunt à contracter est de 8 millions de F. C’est donc sur cette base, qui inclut la pénalité, que nous calculons le montant d’une annuité constante sur 7 ans.
Adaptons la formule vue plus haut :
\[a = \frac{iK}{1 - (1 + i)^{-n}} = \frac{0,11 \times 8\,000\,000}{1 - 1,11^{-7}}\]
Donc \(a = 1\,697\,722,16.\)
Malgré la pénalité et un léger arrondi qui a majoré le second emprunt, l’entreprise H fait une économie non négligeable de 147 086 F par an…
En complément, voyons le détail des échéances sur FPU. On entre les informations :
La sortie est exportée sur Excel :
