Deux problèmes avec fonctions polynomiales

Fonctions de degrés 2 et 3 (problèmes)

Deux problèmes vous sont proposés ici. Leur niveau de difficulté est celui des premières technologiques, avant l’étude de la dérivation.

 

Problème 1 (fonction de degré 2)

Le coût de production de \(x\) tonnes d’exercices de maths par un logiciel spécialisé est donné par la fonction \(C(x) = 0,4x^2 + 30.\) Ce coût est exprimé en euros et la quantité maximale est de 15 tonnes.

1- Quel est le coût fixe (c’est-à-dire pour une production nulle) ?

2- Calculer \(C(15)\) et interpréter le résultat.

3- Calculer le coût moyen de la tonne d’exercices lorsque 15 tonnes sont produites.

4- Résoudre l’équation \(C(x) = 70\) puis interpréter le résultat.

5- Montrer que la fonction est croissante sur son ensemble de définition.

6- Calculer le taux de variation (ou taux d’accroissement) de la fonction \(C\) sur l’intervalle \([10\,;15]\) puis sur \([5\,;10].\) Interpréter les résultats.

 

Corrigé 1

1- Le coût fixe est donné par \(C(0)\) soit \(0,4 \times 0 + 30 = 30\). Il est de 30 €.

2- \(C(15) = 0,4 × 15^2 + 30 = 120.\) Il en coûte 120 € de fabriquer 15 tonnes d’exercices de maths (production maximale).

3- Pour obtenir le coût moyen, il suffit de diviser le résultat précédent par 15. Donc \(\frac{120}{15} = 8.\) Le coût moyen est de 8 € la tonne lorsque 15 tonnes sont produites.

4- \(0,4x^2 + 30 = 70\)
\(⇔ 0,4x^2 = 70 - 30\)
\(⇔ x^2 = \frac{40}{0,4}\)
\(⇔ x^2 = 100\)

D’où \(x = \sqrt{100} = 10\) ou \(x = -\sqrt{100} = -10\) mais cette dernière solution ne peut être retenue puisqu’elle n’appartient pas à l’ensemble de définition.

On a cherché pour quelle production on obtenait un coût total de 70 €. C’est une production de 10 tonnes qui permet d’obtenir ce coût.

5- La fonction \(C\) se présente comme la somme d’une fonction carré avec coefficient positif et d’une constante.

Comme une constante ne modifie pas la croissance ou la décroissance d’une fonction, intéressons-nous à l’autre terme.

\(C\) est définie sur une partie de \(\mathbb{R}_+.\) Or, la fonction carré est croissante sur \(\mathbb{R}_+.\) Le carré étant affecté d’un coefficient positif, \(C\) est croissante sur \([0\, ;15].\)

6- Nous avons déjà calculé \(C(10) = 70\) et \(C(15) = 120.\)

Taux de variation entre 10 et 15 : \(\frac{120 – 70}{15 – 10}\) \(=\frac{50}{5}\) \(= 10\)

\(C(5) = 0,4 × 25 + 30 = 40\)

Taux de variation entre 5 et 10 : \(\frac{70 – 40}{10 – 5}\) \(=\frac{30}{5}\) \(= 6\)

Le coût total augmente avec la production (c’est logique !) mais, pour une production comprise entre 5 et 15 tonnes, il augmente de plus en plus fortement en fonction du niveau de production.

 

Problème 2 (fonction de degré 3)

Soit une autre fonction de coût total en euros \(c,\) définie sur \([0\,;1].\) Cet intervalle correspond à une production comprise entre 0 et une tonne. Soit \(x\) la quantité produite en tonnes. Nous savons que \(c(x) = x^3 + 8x^2 + 17x + 10.\)

1- Montrer que l’on peut écrire \(c(x) = (x + 2)(x + 5)(x + 1).\)

2- La forme factorisée de \(c\) nous permet-elle d’affirmer qu’en aucun cas le coût total est nul ? Pouvions-nous aussi le déduire de sa forme développée ?

3- Écrire un algorithme en Python qui nous permet de calculer le coût total en euros d’une production de \(x\) tonnes, quel que soit \(x.\)

4- Améliorer ce programme en ajoutant un message d’erreur si \(x\) n’est pas compris entre 0 et 1.

 

Corrigé 2

1- On part de la forme factorisée pour arriver à la développée. Pour cela, on distribue d’abord les deux premiers facteurs. Ensuite, on distribue le résultat obtenu avec le troisième facteur.

\((x + 2)(x + 5)(x + 1)\)
\(= (x^2 + 5x + 2x + 10)(x + 1)\)
\(= (x^2 + 7x + 10)(x + 1)\)
\(=x^3 + x^2 + 7x^2 + 7x + 10x + 10\)
\(= x^3 + 8x^2 + 17x + 10\)

2- La forme factorisée nous permet de constater que les racines sont -5, -2 et -1. Aucune d’entre elles n’étant située entre 0 et 1, l'équation \(c(x) = 0\) n’admet pas de solution sur cet intervalle. Le coût total ne peut donc pas être nul pour une production inférieure à une tonne.

On peut aussi le déduire de la forme développée. Il est aisé de calculer \(c(0) = 10\) (nombre positif). Par ailleurs, \(c\) est une fonction polynôme dont tous les coefficients sont positifs. C’est en quelque sorte une somme de fonctions toutes croissantes (sauf la constante). En effet, la fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}_+,\) ainsi que la fonction carré. Comme \(c\) est une fonction croissante, son minimum est \(c(0)\), c’est-à-dire 10, valeur positive. Elle ne peut donc pas être nulle, pas plus qu’elle ne peut être négative.

3- Dans ce premier programme, l’opérateur (probablement vous !) entre une valeur de \(x\) et il obtient son image \(c(x).\)

Suggestion :

x = float (input('x  = '))
c = x**3 + 8*x**2 + 17*x + 10
print (c)

Avec une fonction :

def polynome():
    x = float(input('x = '))
    c = x**3 + 8*x**2 + 17*x + 10
    return c 
print (polynome())

4- Programme Python avec instruction conditionnelle :

def polynome():
x = float(input('x = '))
if x < 0 or x > 1 :
    erreur = 'valeur de x impossible, espèce de crétin'
    return (erreur)
else:
    c = x**3 + 8*x**2 + 17*x + 10
    return (c)

print (polynome())