Un exercice sur fonction du troisième degré

Exercice de dérivation d'une fonction de degré 3

Cet exercice a été écrit pour les élèves des premières technologiques mais il peut bien sûr servir d’entraînement en classe de première générale. Il reprend presque tous les points du chapitre sur la dérivation et même un peu plus…

Bon courage.

 

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([-10\, ;10]\) par \(f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 - 6x + 1.\)

1- Montrer que sa dérivée peut s’écrire \(f’(x) = 2(x - 3)(x + 1).\)

2- Étudier le signe de \(f’(x).\)

3- En déduire les variations de \(f.\)

virages

4- Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f’ = 0\) et en déduire les abscisses des points auxquels \(\mathscr{C}_f,\) la courbe représentative de \(f,\) admet des tangentes horizontales (extremums locaux).

5- Déterminer \(f(2)\) et \(f’(2)\). En déduire l’équation de \(T,\) tangente de \(\mathscr{C}_f\) au point d’abscisse 2.

6- Tracer \(\mathscr{C}_f\) et \(T\) avec le logiciel ou la calculatrice de votre choix.

7- Sur le tracé, il semble que \(\mathscr{C}_f\) et \(T\) se croisent pour \(x = -1\). Prouver cette conjecture par le calcul.

 

Corrigé

1- Dérivons \(f.\) En cas de trou de mémoire, le mode d’emploi se trouve en page de dérivée d’une fonction de degré 3.

\(f’(x) = 3 × \frac{2}{3}x^2 - 2 × 2x - 6\)
\(⇔ f’(x) = 2x^2 - 4x - 6\)

Or l’énoncé nous propose une forme factorisée. Développons-la pour savoir si l’on retrouve l’expression que nous venons d’établir.

\(2(x - 3)(x + 1)\)
\(= (2x - 6)(x + 1)\)
\(= 2x^2 + 2x - 6x - 6\)
\(= 2x^2 - 4x - 6\)

Nous avons vérifié que \(f’(x) = 2(x - 3)(x + 1).\) Bravo.

2- Étudions le signe de chacun des facteurs. Le premier, 2, est évidemment positif. On peut l’intégrer au tableau de signes, encore que sa présence n’est pas indispensable…

\(x - 3 \geqslant 0\)
\(⇔ x \geqslant 3\)

\(x + 1 \geqslant 0\)
\(⇔ x \geqslant -1\)

D’où le tableau de signes suivant :

tableau de signes
3- La fonction \(f\) est croissante sur \([-10\, ;-1]\) puis décroissante sur \([-1\, ;3]\) et enfin croissante sur \([3\, ;10].\)

4- Il ressort des calculs précédents que les solutions de l’équation \(f’(x) = 0\) sont \(\{-1\, ;3\}.\)

La courbe représentative de \(f\) admet des tangentes horizontales aux points d’abscisse -1 et 3 puisque le coefficient directeur des tangentes en ces deux points est nul.

5- Calculons d’abord \(f(2).\)

\(\frac{2}{3}x^3 - 2x^2 - 6x + 1\) \(=\frac{2}{3} × 8 - 2 × 4 - 6 × 2 + 1\) \(= -\frac{41}{3}.\)

Déterminons maintenant \(f’(2).\) On utilise soit la forme développée soit la forme factorisée.

\( f’(2)\) \(= 2 × 4 - 4 × 2 - 6\) \(=-6.\)

L’équation d’une tangente en 2 s’obtient par la formule suivante :

\(y = f(2) + f’(2)(x - 2)\)

Donc ici : \(y = -\frac{41}{3} - 6(x - 2)\)
\(⇔ y = -\frac{41}{3} - 6x + 12\)
\(⇔ y = -6x - \frac{5}{3}\)

6- En raison d’un ensemble de définition peu adapté à une représentation claire, nous ne traçons qu’une partie de la courbe (avec geoGebra).

courbe et tangente

7- Vous pourriez poser une équation mais l’expression de \(f\) étant au troisième degré, vous seriez vite bloqué dans votre élan. Le plus simple est donc de calculer l’image de -1 par \(f,\) c’est-à-dire \(f(1),\) puis de remplacer \(x\) par -1 dans l’équation de la tangente et enfin vérifier que l’on obtient bien le même résultat.

\(f(-1) = -\frac{2}{3} - 2 + 6 + 1 = \frac{13}{3}\)

Si l’on cherche la valeur de \(T\) pour \(x = -1,\) \(y = 6 - \frac{5}{3}\) (voir question 5), donc \(\frac{13}{3}.\)

Donc \(\mathscr{C}_f\) et \(T\) se croisent au point de coordonnées \((-1\, ;\frac{13}{3}).\)