Une initiation à la dérivation

Dérivation de fonctions simples

Cette page trouve sa place dans le programme de première générale.

Vous savez sans doute qu’à chacune des valeurs de \(x\) pour lesquelles une fonction \(f\) est définie est associé un « taux de variation instantané » (sauf exceptions). C’est le nombre dérivé qui se lit graphiquement à l’aide du coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d’abscisse \(x_0.\)

 

Fonction dérivée

La fonction qui à tout réel \(x\) associe le nombre dérivé de \(f\) est la fonction dérivée \(f’.\) Cette notion de fonction dérivée est fondamentale et vous ne pourrez plus vous en passer. Certes, vous parviendrez encore à beurrer une tartine sans penser à la dérivation mais vous vous rendrez vite compte que pour obtenir un nombre dérivé en \(x = a,\) il est plus simple de dériver toute la fonction puis de calculer \(f’(a)\) plutôt que d’établir la limite en 0 de l’écart du taux de variation comme indiqué en page de nombre dérivé.

Pour bien saisir le lien qui existe entre une fonction et sa dérivée, rien ne vaut la représentation de leurs courbes respectives (voir la page sur le signe de la dérivée et les exercices sur courbes de dérivées). Autre exemple de tracés en page de fonction inverse.

Exemple : ci-dessous, la courbe rouge représente la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 0,02x^3 - 1\) (réalisation sur SineQuaNon). La verte représente sa dérivée définie par \(f'(x) = 0,06x^2\) (nous verrons plus loin comment elle a pu être déterminée). \(f\) étant toujours croissante, \(f'\) est positive (courbe au-dessus de l'axe des abscisses). Pour \(x = 0,\) \(f\) n'est ni croissante ni décroissante et donc \(f'(0) = 0\) (la courbe verte passe par l'origine).

courbe et dérivée

 

Formules

Tout ceci offre d’alléchantes perspectives de travail mais par quelles mystérieuses formules peut-on déterminer la dérivée d’une fonction ?  Sans plus attendre, les voici :

dérivées usuelles

Note : l’ensemble de dérivabilité est l’ensemble de définition de la dérivée.

Mais avec ces formules on ne va pas très loin. Que se passe-t-il si une fonction \(f\) est multipliée par un réel ? Que faire lorsque \(f\) se présente comme une opération de deux ou plusieurs fonctions (en clair, lorsqu’il y a plusieurs fois \(x\) dans l’expression de \(f\)) ?

Nommons \(u\) et \(v\) deux fonctions qui composent \(f\) et voici de nouvelles formules qui ne demandent qu’à être apprises par cœur (en toute rigueur, le tableau ci-dessous devrait utiliser les expressions \(u(x)\) et \(v(x)\) et non \(u\) et \(v\)).

opérations sur dérivées3

C’est en mixant ces différentes formules que l’on dérive une fonction (mais vous aurez la chance d’apprendre d’autres durant vos études puisqu’il existe d’autres types de fonctions, Cf. la page d'opérations sur dérivées).

Par exemple, on voit que la dérivée de la fonction carré a pour expression \(2x\) et que si \(f(x) = ku\) avec \(k \in \mathbb{R}\) alors \(f’(x) = ku’.\) Par conséquent, supposons une fonction \(g(x) = 5x^2.\) Quelle est l'expression de sa dérivée ? Réponse : \(g’(x) = 5 \times 2x = 10x.\)

Ainsi, la dérivée d’une fonction affine ou d’une fonction linéaire est égale à un simple réel (le coefficient directeur).

D’une façon générale, une fonction polynomiale du second degré, c’est-à-dire de type \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est dérivable sur l’ensemble des réels et \(f’(x) = 2ax + b.\) Davantage de détails en page de dérivée d’une fonction du second degré.

De même, ces formules nous permettent facilement de deviner quelle est la dérivée d’une fonction du troisième degré. Soit \(f(x)\) \(=\) \(ax^3 + bx^2 + cx + d,\) alors \(f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c.\) Si par exemple \(f(x) = 0,02x^3 - 1,\) alors \(f’(x) = 0,06x^2.\) Exercice en page dérivée d’une fonction du troisième degré.

La dérivée d'un produit de fonctions est traitée en page de dérivée d'un produit de deux fonctions.

La dérivée d'un quotient de fonctions est traitée en page de dérivée d'un quotient de fonctions.

 

Exercices corrigés

Pour les fonctions suivantes, donner l'ensemble de dérivabilité et l'expression de la dérivée.

\(f(x) = x^5 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + x^2 - x + 7\)

\(g(x) = 3x^3 + 2 \sqrt{x}\)

\(h(x) = -\frac{3}{5x+2}\)

Corrigés

\(f\) est une fonction polynomiale. Elle est donc définie et dérivable sur \(\mathbb{R}.\)

\(f'(x) = 5x^4 + x^3 - 9x^2 + 2x - 1\)

\(g\) est la somme d'une puissance de \(x\) et d'une racine carrée multipliée par un réel. Son ensemble de dérivabilité est \(\mathbb{R}_+^*.\)

\(g'(x) = 9x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\)

Attention à ne pas vous faire piéger. \(\sqrt{0}\) existe mais en 0 la fonction racine carrée n'est pas dérivable. D'ailleurs vous le constatez ci-dessus puisque la fonction dérivée comprend une racine d e\(x\) au dénominateur.

\(h\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R} \backslash \{-\frac{2}{5}\}.\)

\(h'(x) = \frac{15}{(5x + 2)^2}\) (première et quatrième lignes du second tableau de formules).

 

formules