La linéarité de la moyenne

Moyenne pondérée et propriété de linéarité

Niveau de cette page : classe de seconde (vous savez déjà ce qu’est une moyenne pondérée et vous êtes un pro des taux de croissance).

 

Principe

La moyenne pondérée d’une série statistique est habituellement notée \(\overline x.\)

Si l’on ajoute une constante \(b\) à chaque valeur de la série, alors la moyenne devient \(\overline x + b.\)

Par exemple, la moyenne entre 1 et 2 est 1,5. Si l’on ajoute 100 à nos deux valeurs, elles deviennent 101 et 102. Leur moyenne est alors 101,5. Ce résultat peut être obtenu soit directement en posant \(\frac{101 + 102}{2}\) soit en ajoutant 100 à la moyenne de 1,5.

Si l’on multiplie chaque valeur de la série par un même réel \(a,\) la moyenne de cette nouvelle série est \(a × \overline x.\)

Répétons-le, la moyenne entre 1 et 2 est 1,5. Si l’on double ces valeurs, c’est-à-dire si l’on établit la moyenne entre 2 et 4, alors on trouve 3. Mais on peut aussi doubler la moyenne déjà calculée : \(1,5 × 2 = 3.\) Même résultat. Bravo.

Ces deux propriétés peuvent se combiner. C’est ce que l’on appelle la linéarité de la moyenne. Nous verrons cela plus loin avec un exercice mais auparavant, pour les sceptiques, voici deux démonstrations.

 

Démonstrations

Soit une série \(x_1,x_2,…,x_n\) et une nouvelle série \(x_1+b, x_2+b,…,x_k+b\) d’effectifs respectifs \(n_1,n_2,…,n_k.\)

Soit \(N\) l’effectif total. Donc \(N = n_1+n_2+…+n_k.\)

La nouvelle moyenne pondérée est la suivante :

\(\frac{n_1(x_1+b) + n_2(x_2+b)+…+n_k(x_k+b)}{N}\)

Développons.

\(\frac{1}{N}(n_1x_1 + n_1b + … + n_kx_k + n_kb)\)

Redistribuons.

\(\frac{1}{N}(n_1x_1 + …+ n_kx_k + n_1b +…+ n_kb)\)

Séparons.

\(\frac{1}{N}(n_1x_1 + …+ n_kx_k) + \frac{1}{N}(n_1b +… +  n_kb)\)

Factorisons le second terme.

\(\frac{n_1x_1 + … + n_kx_k}{N} + b ×\frac{n_1 + … + n_k}{N}\)

Le premier terme n’est autre que la moyenne de départ. Quant au second, il ne vous a pas échappé que \(n_1 +…+ n_k = N,\) donc nous avons \(b × 1.\)

Que nous reste-t-il ? \(\overline x + b.\)

La seconde propriété mérite elle aussi une démonstration (encore plus simple).

La moyenne pondérée de la nouvelle série s’écrit ainsi :

\(\frac{ax_1 + ax_2 + … + ax_k}{N}\)

Factorisons.

\(a × \frac{x_1 + x_2 + … + x_k}{N}\)
\(= a \overline x.\)

 

Exercice

Bunji vend des plantes. Celles-ci se répartissent selon quatre prix seulement : celles à 3 000 yens, à 5 000, à 8 000 et à 10 000 yens. Les quantités de plantes en magasin sont indiquées dans le tableau ci-dessous.

Prix de vente 3000 5000 8000 10000
Quantité 30 55 60 10
  1. Quel est le prix moyen ? arrondir à 10 yens près.

  2. On admet que ces prix comprennent une TVA de \(10\%.\) Pour sa comptabilité, Bunji a besoin de connaître les prix hors taxe.

    Ces prix HT comprennent de petits flacons d’engrais qui seront offerts aux clients (un flacon que Bunji a payé 200 yens pour chaque plante achetée).  Non seulement Bunji souhaite connaître le prix hors taxe, mais il a besoin d’ôter le prix du flacon pour établir le « vrai » prix de ses plantes.

    Déterminer ce prix net moyen de deux façons différentes.

rhododendrons

 

Corrigé

1- Bunji détient 155 plantes en magasin.

Prix moyen pour l’acheteur :

\(\frac{3000 × 30 + 5000 × 55 + 8000 × 60 + 10000 × 10}{155}\) \(\approx\) \(6100\) yens.

2- Les prix hors taxes sont respectivement de \(\frac{3000}{1,1} = 2727,\) \(\frac{5000}{1,1} = 4545,\) \(\frac{8000}{1,1} = 7273\) et \(\frac{10000}{1,1}  = 9091\) (arrondis au yen).

Si l’on retire le prix du flacon, il reste respectivement 2527, 4345, 7073 et 8891 yens.

Résumons ceci dans un tableau.

Prix de vente 3000 5000 8000 10000
Prix HT 2727 4545 7273 9091
Prix hors flacon 2527 4345 7023 8891
Quantité 30 55 60 10

Calculons le prix moyen à l’aide du tableau.

\(\frac{2527 × 30 + 4345 × 55 + 7023 × 60 + 8891 × 10}{155}\) \(≈\) \(5320\) yens.

Autre technique. Nous avons vu à la question 1 que le prix moyen pour l’acheteur s’élevait à 6 100 yens.

\(\frac{6100}{1,1} - 200 ≈ 5340\) (la légère différence est due aux arrondis).

 

moyenne nulle