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(et fondements mathématiques)

Le choix de la constante du LES

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Choix de la constante du lissage exponentiel simple

Le lissage exponentiel simple (LES) est une technique de prévision facile à mettre en œuvre. Ne nous réjouissons pas trop vite, la méthode comporte quelques écueils, notamment des conditions d’emploi assez restrictives (qui orientent alors l'analyse vers le lissage exponentiel double, le lissage de Holt ou autre) et du choix de la constante de lissage qui impacte directement les résultats. En effet, aucune méthode mathématique ne donne directement sa valeur optimale. Réjouissons-nous à nouveau, voici une page qui traite du choix de cette constante.

Pour cela, il faut évidemment conserver les données. Ainsi, on peut confronter les observations avec ce qu’aurait donné un LES utilisant une constante de lissage de 0,1 puis 0,2 puis 0,3 et ainsi de suite (enfin, en principe, c’est un logiciel qui trouve la meilleure valeur !). On se donne un indicateur d’écart pour comparer les deux séries, par exemple l’erreur quadratique moyenne (MSE) ou l’erreur absolue moyenne (MAE) et donc déterminer la constante la plus adaptée à la série chronologique étudiée pour l'avenir.

Rappelons l’une des formules du LES :

formule LES

Un coefficient α compris entre 0 et 1 pondère la dernière observation tandis que (1 – α) pondère la prévision précédente. Si l’on choisit α = 1, on reporte tout simplement la dernière donnée. Ainsi, une valeur élevée de α produit des prévisions très réactives tandis qu’une valeur faible implique un poids du passé plus fort et donc des prévisions davantage lissées.

On peut revenir sur le choix de la constante lorsque la série montre une rupture de tendance.

Explorons une série chronologique et quelques moyens d’obtenir la meilleure constante α. N’ayant pas les moyens d’acquérir SAS ou SAP, je me contenterai d’utiliser des logiciels dont la prévision à grande échelle n’est pas la spécialité.

D’abord une technique très artisanale sur Excel (comparaison de trois valeurs candidates de α) :

3 valeurs candidates

La valeur lissée initiale est ici la moyenne entre les deux premières observations. Les formules permettant d’obtenir les prévisions sont expliquées en page LES. Les colonnes SCE reprennent les différences entre les valeurs prédites et les observations de la colonne bleue, élevées au carré. On remarque que, des trois constantes étudiées, la plus adaptée est α = 0,7.

Utilisons à présent XLSTAT-Time 2011, qui inclut un solveur et donc fournit une valeur de α bien plus précise que ci-dessus (500 itérations pour cet exemple).

La valeur S1 qui initialise la série n’est pas la moyenne des deux premières. En effet, pour l’initialisation, XLSTAT autorise soit la première observation, soit la moyenne des six premières, soit un backcasting. Comme ce choix n’est pas le sujet de cette page, nous nous contenterons de la première valeur (soit 515). Nous cherchons une valeur OPTIMISÉE de la constante de lissage :

menu Xlstat

La validation n’est pas cochée et dans l’onglet « Prédiction » le pas de temps est de 1. Voici un extrait de l’état de sortie :

état de sortie

Un coefficient de 0,84 peut être retenu… On remarque que la SCE est logiquement inférieure à celle obtenue avec α = 0,7.

Pour terminer, voyons comment XLSTAT traite la série suivante (en bleu) en optimisant α :

alpha > 1

Un coefficient supérieur à 1… Cette sur-réaction est le signe d’une évolution très chaotique !

comparaison graphique

 

choix d'une constante

 

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