Les variables aléatoires indépendantes

Indépendance de variables aléatoires

Le niveau de cette page est celui de terminale générale (spécialité maths).

En classe de première, on découvre l’indépendance en probabilité. En terminale, c’est dans le cadre des variables aléatoires (v.a) que cette notion est étudiée. Subtile différence mais différence quand même. Après une brève présentation, nous montrerons deux propriétés des v.a indépendantes qui permettent d’éclairer ce que vous avez appris sur la loi binomiale.

En effet, dans la pratique un statisticien ne vérifie pas que deux v.a sont indépendantes. Les propriétés que vous découvrirez ici sont les fondements théoriques de techniques statistiques qui sont quant à elles opérationnelles.

 

Indépendance

Soit deux v.a \(X\) et \(Y\) définies sur un univers \(Ω.\) Elles peuvent prendre des valeurs \(x_i\) et \(y_i.\)

Elles sont indépendantes si, quels que soient \(x\) et \(y,\) \(P(\{X=x\} ∩ \{Y=y\})\) \(=\) \(P(X = x) × P(Y = y)\)

Cette formule a bien sûr un air de famille avec celle des évènements indépendants.

On peut d’ailleurs l’étendre à \(n\) v.a indépendantes.

\(P(\{X_1 = x_1\} ∩ \{X_2 = x_2\} ∩ … ∩ \{X_n x_n\})\) \(=\) \(P(X_1 = x_1)P(X_2 = x_2)…P(X_n = x_n)\)

Attention, ce n’est pas parce que \(X_1, X_2,…, X_n\) sont indépendantes deux à deux qu’elles sont toutes mutuellement indépendantes.

Soit par exemple deux tirages de nombres entiers. Si \(X_1\) vaut 1 si un nombre pair est tiré au hasard et \(X_2\) vaut 1 si c’est un nombre impair, ces v.a sont indépendantes. Si \(X_3,\) somme de \(X_1\) et de \(X_2\) vaut 1 si cette somme est impaire, alors cette v.a est aussi indépendante de \(X_1\) et de \(X_2\) prises séparément mais évidemment pas si \(X_1\) et \(X_2\) sont prises ensemble.

 

Espérance et variance

Si les v.a sont indépendantes :

\(E(X) \times E(Y) = E(XY)\)

\(V(X + Y) = V(X) + V(Y)\)

La première égalité (que nous ne démontrerons pas, encore que la tâche n’est pas difficile) sert à démontrer la seconde. Voici comment.

Vous devez connaître les propriétés de l’espérance.

Nous partons de la formule de König (la variance est l’espérance des carrés moins le carré de l’espérance).

\(V(X+Y) = E((X+Y)^2) - E(X+Y)^2\)
\(⇔ V(X+Y) = E(X^2 + 2XY + Y^2) - (E(X) + E(Y))^2\)
\(⇔ V(X+Y) = E(X^2) + 2E(XY) + E(Y^2) - E(X)^2 - 2E(X)E(Y) - E(Y)^2\)
\(⇔ V(X+Y) = E(X^2) + E(Y^2) - E(X)^2 - E(Y)^2 +2(E(XY) - E(X)E(Y))\)

Or nous avons vu que \(E(XY) - E(X)E(Y) = 0\)

Donc \(V(X+Y) = E(X^2) - E(X)^2 + E(Y^2) E(Y)^2\)
\(⇔ V(X + Y) = V(X) + V(Y)\)

Attention, cette égalité n’est pas vérifiée si \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.

Par ailleurs, le fait que \(X\) et \(Y\) soient indépendantes implique que \(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\) mais la réciproque est fausse.

Notez aussi que cette propriété s’étend à \(n\) v.a indépendantes :

\(V(X_1 + X_2 + … + X_n)\) \(=\) \(V(X_1) + V(X_2) + … + V(X_n)\)

Vous pouvez faire des exercices simples là-dessus en page de somme de v.a.

Notez enfin que cette égalité ne se vérifie pas pour les écarts-types puisqu’hormis de rarissimes exceptions \(\sqrt{a + b} ≠ \sqrt{a} + \sqrt{b}.\)

 

Vers la loi binomiale

Nous pouvons à présent appliquer les propriétés que nous venons d’explorer à une somme de \(n\) v.a ayant une même espérance \(μ\) et une même variance \(σ ^2.\)

Soit \(X_n\) la v.a qui est la somme de ces v.a.

L’espérance de \(X_n\) est \(n μ\) (voir les propriétés de l’espérance).

De même, \(V(X_n) = n σ ^2.\)

Rappelons que si une v.a \(X\) suit une loi de Bernoulli dont la probabilité de succès est \(p,\) alors \(E(X) = p\) et \(V(X) = p(1 - p).\)

Par définition, la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) est celle d’une suite de \(n\) épreuves de Bernoulli de paramètre \(p,\) toutes identiques et indépendantes les unes des autres.

Il s’ensuit que l’espérance de la loi binomiale est \(E(X_n) = np\) et sa variance \(V(X_n) = np(1 - p).\)

 

Exercice corrigé

On lance \(n\) fois un dé cubique équilibré. La v.a \(X\) est la somme des points obtenus.

  1. Déterminer l’espérance et la variance des v.a \(Y_i,\) nombre de points obtenus à chaque lancer.
  2. En déduire l’espérance et la variance de \(X.\)

Corrigé

1- Espérance de \(Y\)

\(E(Y) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3,5\)

Variance de \(Y\) (avec la formule de König)

\(V(Y) = \frac{(1-3,5)^2 + (2-3,5)^2+…(6-3,5)^2}{6} - 3,5^2 = \frac{35}{12}\)

2- \(E(X) = 3,5n\)

\(V(X) = \frac{35n}{12}\)